Релятивистская динамика в пространстве Минковского

После определения 4-радиус-вектора определим еще несколько 4-векторов.

4-скорость определяется следующим образом:

(36.1)

где ds- бесконечно малый интервал между событиями с частицей, скорость которой мы определяем в произвольной системе отсчета.

Для каждой частицы есть одна единственная “особая” система отсчета, связанная с ней самой. Поэтому, при определении компонент 4-вектора скорости, мы определили интервал ds=cdt в той системе отсчета, в которой частица покоится (dt -собственное время). Связь собственного времени между событиями dt с временем между этими же событиями в системе отсчета, где частица движется со скоростью v, мы знаем: .  Тогда отдельные компоненты 4-вектора скорости будут равны:

4-вектор u^i направлен по касательной к мировой линии частицы. Его квадрат – величина инвариантная:

.

Можно записать 4-вектор скорости, выделив временную и пространственную компоненты:

(36.2)

После определения 4-скорости можем определить 4-ускорение частицы:

(36.3)

4-ускорение перпендикулярно 4-скорости. Действительно:

,

поэтому  и эти 4-вектора ортогональны. 4-ускорение определяет радиус кривизны мировой линии.

Наибольшее значение для решения задач релятивистской динамики имеет 4-вектор импульса частицы:

(36.4)

В этом определении m – масса частицы, которую мы считаем величиной инвариантной, не зависящей от скорости частицы и совпадающей с массой, которая была определена в классической механике.

Из определения 4-вектора импульса и тождества  следует, что

- величина инвариантная. Для 4-вектора импульса можно также выделить временную и пространственную компоненты:

(36.5)

Скорость изменения 4-импульса определяется действующей на частицу 4-силой:

(36.6)

Это уравнение – основное уравнение релятивистской динамики. Его компоненты удовлетворяют следующему тождеству:

.

Поскольку 4-скорость направлена по касательной к мировой линии частицы, 4-сила, как и 4-ускорение направлена перпендикулярно к этой касательной.

Для 4-вектора силы также можно выделить временную и пространственную компоненты:

(36.7)

где f – вектор обычной силы, определяющей скорость изменения импульса p.

После определения ряда 4-векторов в К–системе отсчета в виде соответствующих производных не по времени t К-системы, а по собственному времени t резонно задать вопрос, почему? Для ответа на этот вопрос нам надо проанализировать с точки зрения закона сохранения импульса упругое взаимодействие двух релятивистских частиц. В этом простейшем случае ни рождения новых, ни исчезновения исходных частиц не происходит. Те частицы, что были до взаимодействия, остались и после него. Для примера можем взять рассеяние протонов на протонах.

Пусть два протона в K-системе отсчета сближаются и упруго рассеиваются. Для большей простоты, пусть K-система отсчета это система центра масс и , а . Скорости протонов одинаковы по модулю и направлены противоположно. Рассеяние нецентральное (рис.36.1а), после него частицы обмениваются py проекциями импульса. Полный импульс до и после взаимодействия равен нулю.

Рис.36.1

Все события должны одинаково описываться в любой инерциальной системе отсчета. В частности, в K'-системе отсчета движущейся вдоль оси x со скоростью v2x(рис.36.1b) центр масс должен оставаться на оси x. Проверим, будет ли это выполняться, если определять импульс так, как мы делали это ранее в механике: .

Скорости частиц до взаимодействия в K'-системе отсчета будут равны:

Видно, что y проекции скоростей частиц различаются и в K'-системе отсчета центр масс будет перемещаться вдоль оси y', что не соответствует условиям задачи. Если же воспользоваться выражением для релятивистского импульса в форме

,

то для y проекций импульсов частиц, учитывая  и , получим одинаковые по модулю и противоположные по знаку импульсы, которые в сумме дадут ноль:

; .

При ударе частицы обменяются данной проекцией импульса, закон сохранения импульса будет выполняться. Вдоль оси y' центр масс перемещаться не будет.