Четырехмерное пространство-время. Интервал

На рубеже 19-20 веков физики после описания Максвеллом электромагнитных волн считали, что они, по аналогии с акустическими волнами, распространяются в некоторой среде - эфире (этот термин до сих пор используется на телевидении и радио – “Вы в эфире”). Система отсчета, связанная с эфиром, естественно должна быть особой, “привилегированной”.  Эти представления, однако, не получили экспериментального подтверждения, поэтому был принят принцип относительности Пуанкаре-Эйнштейна: все инерциальные системы отсчета равноправны.

Первым создал новую физическую теорию, в которой рассматривалась относительность пространственных и временных характеристик событий, Эйнштейн (A.Einstein, 1905). Окончательную форму теория приобрела в работах Минковского (G.Minkowski, 1908) после определения четырехмерного пространства-времени.

Основное понятие, с которого мы начинаем строить здание релятивистской физики – событие. События, поскольку они характеризуются местом (xi,yi,zi), где они происходят, и временем (ti), когда они происходят, могут быть связаны только с материальными точками. Далее мы будем применять новую физическую теорию, в основном, для описания событий с микрочастицами. Они же – объекты квантовой физики, с которой мы еще не знакомы. Поэтому в дальнейшем будем анализировать только те результаты, для которых квантовые эффекты не существенны.

Каждому событию соответствует точка в четырехмерном пространстве (три пространственные и одна временная координаты). Эти точки называют мировыми точками. В этом пространстве всякой частице соответствует мировая линия.

Определим интервал между двумя событиями следующим образом:

(32.1)

Он соответствует расстоянию между двумя точками в четырехмерном пространстве, причем квадрат временной составляющей и пространственной входят с разными знаками. Поэтому геометрия этого пространства не евклидова (для обычного трехмерного пространства квадрат радиус вектора равен сумме квадратов проекций), а псевдоевклидова.  

Интервал – величина инвариантная, не зависящая от выбора системы отсчета. Обоснуем это исходя из самых общих рассуждений.

Квадрат бесконечно малого интервала будет равен: . Если ds=0(интервал между двумя событиями с фотоном), то ds'=0, поскольку скорость света – величина инвариантная - c=inv. Для событий с другими частицами предположим, что интервал не инвариантен: . Может ли коэффициент пропорциональности a зависеть явно от координаты или времени?

Если бы поставив один и тот же эксперимент в двух инерциальных системах отсчета, движущихся одинаково, в разные моменты времени в разных областях пространства, мы получили бы разные значения а, ответ был бы утвердительным. Однако пространство и время однородно, никакого различия в результатах мы не получим. Из изотропии пространства следует, что коэффициент a не может зависеть от вектора скорости относительного движения двух систем отсчета, он может зависеть только от модуля этой скорости. Анализируя связь интервалов между двумя событиями, определенными в трех разных системах отсчета K,K1,K2, которые движутся с относительными скоростями, показанными на рисунке,

приходим к выводу об инвариантности интервала.

Действительно:, ,  тогда

.

В общем виде относительная скорость

зависит от угла между векторами скоростей. Для коэффициента a(V21) зависимости от угла мы не получили. Из этого следует принять коэффициенты пропорциональности a, равными 1. Из инвариантности бесконечно малых интервалов и равенства их нулю для конечных интервалов между событиями с фотоном, следует инвариантность и конечных интервалов.

Интервалы между событиями, для которых ds^2>0, называют времениподобными. На рис.32.1 изображены волнистыми линиями мировые линии двух частиц, которые в момент времени t=0 оказались на оси x, одна в начале координат, другая в точке с координатой x0. В обычной декартовой системе координат обе частицы движутся прямолинейно вдоль оси x.

Мировые линии частиц лежат в пределах световых конусов (заштрихованная область на рис.32.1). Между событиями 1 и 2 может быть причинно-следственная связь, в частности, такие события могут иметь отношение к одной и той же частице (рис.32.1)- интервал s21.

Интервалы между событиями, для которых ds^2<0, называют пространственноподобными. Между такими событиями не может быть причинно-следственной связи, они могут иметь отношение только к разным частицам – интервал s32. Вторая частица сможет влиять на первую только после того, как пересекутся их световые конусы.

После определения четырехмерного пространства (пространство Минковского, объединяющее обычное координатное пространство и время) мы можем определить 4-радиус вектор, определяющий событие в нем. Его квадрат будет равен:

(32.2)

В пространстве Минковского оси системы координат – x, y, z, ict.

Рис.32.1

Чаще используется другая система обозначений компонент 4-вектора. Определяют ковариантные компоненты 4-вектора xi и контравариантные компоненты x^i следующим образом:

Квадрат длины 4-радиус-вектора будет равен:

.

Последняя запись использует соглашение о суммировании (§15). В этом определении знак s^2 - противоположный. В 4-радиус-векторе мы можем выделить временную и пространственную составляющие: x^i=(ct r).

Из инвариантности интервала можно получить связь компонент 4-радиус-вектора события x^i=(ct r), определенного в двух различных системах отсчета. Эта связь в релятивистской физике дается преобразованиями Лоренца, которые естественным образом определяются исходя из геометрии пространства Минковского.