пользователей: 21276
предметов: 10469
вопросов: 178036
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Физика

Четырехмерное пространство-время. Интервал

На рубеже 19-20 веков физики после описания Максвеллом электромагнитных волн считали, что они, по аналогии с акустическими волнами, распространяются в некоторой среде - эфире (этот термин до сих пор используется на телевидении и радио – “Вы в эфире”). Система отсчета, связанная с эфиром, естественно должна быть особой, “привилегированной”.  Эти представления, однако, не получили экспериментального подтверждения, поэтому был принят принцип относительности Пуанкаре-Эйнштейна: все инерциальные системы отсчета равноправны.

Первым создал новую физическую теорию, в которой рассматривалась относительность пространственных и временных характеристик событий, Эйнштейн (A.Einstein, 1905). Окончательную форму теория приобрела в работах Минковского (G.Minkowski, 1908) после определения четырехмерного пространства-времени.

Основное понятие, с которого мы начинаем строить здание релятивистской физики – событие. События, поскольку они характеризуются местом (xi,yi,zi), где они происходят, и временем (ti), когда они происходят, могут быть связаны только с материальными точками. Далее мы будем применять новую физическую теорию, в основном, для описания событий с микрочастицами. Они же – объекты квантовой физики, с которой мы еще не знакомы. Поэтому в дальнейшем будем анализировать только те результаты, для которых квантовые эффекты не существенны.

Каждому событию соответствует точка в четырехмерном пространстве (три пространственные и одна временная координаты). Эти точки называют мировыми точками. В этом пространстве всякой частице соответствует мировая линия.

Определим интервал между двумя событиями следующим образом:

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%(32.1)

Он соответствует расстоянию между двумя точками в четырехмерном пространстве, причем квадрат временной составляющей и пространственной входят с разными знаками. Поэтому геометрия этого пространства не евклидова (для обычного трехмерного пространства квадрат радиус вектора равен сумме квадратов проекций), а псевдоевклидова.  

Интервал – величина инвариантная, не зависящая от выбора системы отсчета. Обоснуем это исходя из самых общих рассуждений.

Квадрат бесконечно малого интервала будет равен: %D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%. Если ds=0(интервал между двумя событиями с фотоном), то ds'=0, поскольку скорость света – величина инвариантная - c=inv. Для событий с другими частицами предположим, что интервал не инвариантен: %D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%. Может ли коэффициент пропорциональности a зависеть явно от координаты или времени?

Если бы поставив один и тот же эксперимент в двух инерциальных системах отсчета, движущихся одинаково, в разные моменты времени в разных областях пространства, мы получили бы разные значения а, ответ был бы утвердительным. Однако пространство и время однородно, никакого различия в результатах мы не получим. Из изотропии пространства следует, что коэффициент a не может зависеть от вектора скорости относительного движения двух систем отсчета, он может зависеть только от модуля этой скорости. Анализируя связь интервалов между двумя событиями, определенными в трех разных системах отсчета K,K1,K2, которые движутся с относительными скоростями, показанными на рисунке,

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%

приходим к выводу об инвариантности интервала.

Действительно:%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%, %D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%, %D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1% тогда

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%.

В общем виде относительная скорость

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%

зависит от угла между векторами скоростей. Для коэффициента a(V21) зависимости от угла мы не получили. Из этого следует принять коэффициенты пропорциональности a, равными 1. Из инвариантности бесконечно малых интервалов и равенства их нулю для конечных интервалов между событиями с фотоном, следует инвариантность и конечных интервалов.

Интервалы между событиями, для которых ds^2>0, называют времениподобными. На рис.32.1 изображены волнистыми линиями мировые линии двух частиц, которые в момент времени t=0 оказались на оси x, одна в начале координат, другая в точке с координатой x0. В обычной декартовой системе координат обе частицы движутся прямолинейно вдоль оси x.

Мировые линии частиц лежат в пределах световых конусов (заштрихованная область на рис.32.1). Между событиями 1 и 2 может быть причинно-следственная связь, в частности, такие события могут иметь отношение к одной и той же частице (рис.32.1)- интервал s21.

Интервалы между событиями, для которых ds^2<0, называют пространственноподобными. Между такими событиями не может быть причинно-следственной связи, они могут иметь отношение только к разным частицам – интервал s32. Вторая частица сможет влиять на первую только после того, как пересекутся их световые конусы.

После определения четырехмерного пространства (пространство Минковского, объединяющее обычное координатное пространство и время) мы можем определить 4-радиус вектор, определяющий событие в нем. Его квадрат будет равен:

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%(32.2)

В пространстве Минковского оси системы координат – x, y, z, ict.

Рис.32.1

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%

Чаще используется другая система обозначений компонент 4-вектора. Определяют ковариантные компоненты 4-вектора xi и контравариантные компоненты x^i следующим образом:

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%

Квадрат длины 4-радиус-вектора будет равен:

%D0%B3%D1%88%D0%B4%D0%B3%D1%88%D0%B4%D1%.

Последняя запись использует соглашение о суммировании (§15). В этом определении знак s^2 - противоположный. В 4-радиус-векторе мы можем выделить временную и пространственную составляющие: x^i=(ct r).

Из инвариантности интервала можно получить связь компонент 4-радиус-вектора события x^i=(ct r), определенного в двух различных системах отсчета. Эта связь в релятивистской физике дается преобразованиями Лоренца, которые естественным образом определяются исходя из геометрии пространства Минковского.


17.10.2014; 00:14
хиты: 109
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь