Растяжение стержня

Определим деформации цилиндрического стержня при осевой нагрузке (рис.27.4а) пренебрегая силой тяжести. Длина и диаметр недеформированного цилиндра - d0 и l0. После приложения пары растягивающих (или сжимающих) сил к стержню, его длина меняется на величину, которую обозначим x=Dl=l-l0. Если деформации упругие, удлинение (сжатие) стержня пропорционально силе: F=kx - закон установленный Гуком (R.Hooke, 1660). Учитывая, что  и определив относительное удлинение стержня в виде , можно записать закон Гука в следующем виде:. Произведение коэффициента жесткости стержня k на его длину, деленное на площадь поперечного сечения стержня, зависит только от свойств материала стержня и называется модулем Юнга E. Тогда закон Гука можем записать так:

(27.4)

Наблюдения показывают, что при растяжении (сжатии) стержня также уменьшается (увеличивается) его диаметр. Отношение этих относительных деформаций называют коэффициентом Пуассона:

(27.5)

В изотропном материале модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют его упругие свойства. С ними, в частности мы можем связать модуль всестороннего сжатия K - параметр обратный коэффициенту сжимаемости (21.3) жидкости (или газа):

.

 При всестороннем сжатии кубика напряжение (давление) на каждой грани кубика одинаково. Пусть оно увеличится на величину , при этом относительная деформация вдоль каждой из осей увеличится на . Относительное изменение объема кубика будет равно кубу относительной деформации вдоль каждого из направлений:

.

Здесь мы разложили степенную функцию в ряд по малому параметру  и ограничились первыми двумя слагаемыми в разложении.

 Тогда . Окончательно для модуля всестороннего сжатия получим:

(27.6)

При медленном растяжении стержня внешняя сила, увеличивающаяся по мере увеличения деформации, совершает работу:

.

Эта работа равна потенциальной энергии упруго деформированного тела. Если разделить ее на объем тела V, то получим объемную плотность энергии упругой деформации:

(27.7)

В данном случае деформации в каждой точке однородного изотропного стержня одинаковы. Объем деформированного тела V=Sl в первом приближении будет равен Sol0, поскольку упругие деформации, как правило, незначительны.