Уравнения Эйлера и Бернулли

                Для определения уравнений, описывающих движение сплошной среды, рассмотрим сначала самую простую модель – идеальную несжимаемую жидкость. В ней мы пренебрегаем силами внутреннего трения между слоями текущего потока. Отметим, что эта модель соответствует ряду реальных объектов природы – жидкий изотоп гелия  при температуре ниже 2.19К (при нормальном давлении) находится в сверхтекучем состоянии (П.Л.Капица, 1938), жидкий изотоп гелия  при температуре ниже 2.6 мК также переходит в сверхтекучее состояние (D.Lee, D.Osheroff, R.Richardson, 1972). Последний пример среды без внутреннего трения -  бозе-кондесат из атомов рубидия при температурах  ниже 0.1 μK (E.Cornell, W.Ketterle, C.Wieman, 1995).

Применим второй закон Ньютона для описания движения в поле силы тяжести частиц среды в малом элементе объема dV, плотность в котором p.  Произведение массы объема на его ускорение равно результирующей силе, действующей на него. Она складывается из силы тяжести и силы, обусловленной неоднородностью давления:. Изменение скорости выделенного объема dVможет быть обусловлено двумя причинами: dV=dV1+dV2. В стационарном потоке скорость выделенного элемента объема dV может меняться при его перемещении за время dt из одной точки пространства в другую, если векторное поле скоростей неоднородно: . В нестационарной задаче скорость в любой точке потока меняется со временем, что дает еще один вклад в изменение скорости: . Ускорение элемента объема dV равно:

,

и уравнение движения после деления каждого слагаемого на p dV будет выглядеть так:

.                               (24.1)

Это уравнение было установлено Эйлером (L.Euler, 1755). Обратите внимание на то, что  - дифференциальный оператор  не равный дивергенции скорости.

Для стационарного потока несжимаемой жидкости оно упрощается, если использовать формулу векторного анализа . В ее справедливости Вы можете убедиться, проведя прямые вычисления. Для гравитационного поля  (10.8), где Ф - гравитационный потенциал. Учитывая это, получим уравнение движения в виде:

Для стационарного безвихревого потока оно еще более упрощается, поскольку в таком потоке rotv в каждой точке равен нулю. Теперь мы можем более точно определить потенциальное движение среды, о котором говорили выше. Движение несжимаемой жидкости будет потенциальным, если градиент  в каждой точке потока будет равен нулю. Из этого следует, что для всех точек потока

                                  (24.2)

Уравнение (24.2) – уравнение Бернулли (D.Bernoulli, 1738). В однородном гравитационном поле оно имеет вид:

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии. Первое слагаемое обусловлено кинетической энергией, второе потенциальной энергией единицы объема, а третье слагаемое связано с работой против сил гидростатического давления в жидкости.

Если, при обтекании тела произвольной формы, ламинарный поток не будет терять устойчивость (в каждой точке  divv будет оставаться равной нулю, в потоке не будут образовываться вихри), то реакция со стороны идеальной жидкости, действующая на тело, будет равна нулю (рис.24.1а).

Рис.24.1

 При увеличении скорости потока даже в идеальной жидкости может появиться сила, действующая на обтекаемое тело (на рис.24.1 показан шар), если произойдет отрыв потока и за телом появится область неподвижной жидкости. Давление в ней P1 меньше, чем давление p (рис.24.1б), и гораздо меньше давления в точке O: Po=P+pv^2/2, поэтому результирующая сила, действующая на тело, будет направлена слева направо. 

Обоснуем подробнее условие p1<p. В невозмущенном потоке в сечении S скорость равна v, а давление P. В возмущенной области потока за шаром сечение тех же трубок тока S1<S, тогда в силу уравнения непрерывности v1>v, а в соответствии с уравнением Бернулли p1<p. Объем DV(рис.24.1б) в направлении перпендикулярном скорости не перемещается, одна из его граней находится на границе области с нулевой скоростью, следовательно, давление в потоке p1 равно давлению в области неподвижной жидкости, которая на рис.24.1б отмечена точками. На границе разделяющей область потока и неподвижной жидкости. Циркуляция скорости Г по контуру, показанному пунктиром на рисунке, отлична от нуля, поэтому в этой области появится вихрь. Те вихри, которые Вы видели на фотографии потока воды в Неве (§ 22) образовались таким образом.