Уравнение непрерывности

Полученное нами равенство (22.4) запишем в виде уравнения:

,                                      (23.1)

его называют уравнением непрерывности. В стационарном потоке отличие от нуля второго слагаемого возможно только при наличии источников и стоков вещества среды. Если они отсутствуют, то для стационарного потока в трубке тока переменного сечения (рис.23.1) дивергенция div(p v) равна нулю в каждой точке пространства.

Рис.23.1

Проанализируем ряд задач, используя уравнение непрерывности.

1. Стационарное течение жидкости или газа в трубе переменного сечения. Трубу переменного сечения иллюстрирует тот же рис.23.1, только абстрактные границы трубки тока заменяют стенки трубы.

Тогда, пользуясь теоремой Гаусса, для объема V получим (считая, что скорость в каждой точке сечения постоянна и направлена перпендикулярно плоскости сечения):

.

Из чего следует, что в каждом сечении трубки тока произведение плотности, скорости и площади сечения есть величина постоянная:

.                                                (23.2)

Для несжимаемой жидкости, плотность которой можно считать постоянной это уравнение упрощается: vs=const.

2. Пользуясь уравнением непрерывности, можем найти зависимость концентрации фотонов n, излученных Солнцем, от расстояния R до него. Для простоты будем считать Солнце изотропным источником, мощность излучения которого не зависит от направления. Тогда трубка тока для потока фотонов – все пространство, выберем в ней два сечения – одно это поверхность Солнца, второе – сферическая поверхность радиуса R. Скорость фотонов постоянна и равна скорости света в вакууме c, пусть их концентрация на поверхности Солнца равна n0. Из уравнения непрерывности для стационарного потока фотонов следует, что ncS=const в любом сечении трубки тока и . Тогда искомая нами концентрация фотонов будет равна: , где  Rs- радиус Солнца.

3. Движение автомобилей на автостраде (рис.23.2). В данном случае в уравнении (23.2) сечению потока S соответствует ширина дороги l, а плотности потока p- число автомобилей на единицу поверхности дороги.

Рис.23.2

Для сечений l1 и l2 получим: 3*90*p1=2*60*p2, p1=4/9p2. Если в поток не включать подъездную дорогу, а включить только заштрихованный участок в сечении l3, то div(pv) на этом участке дороги отличается от нуля и равна DN/DtSo.

Отношение DN/Dt равно числу автомобилей, въезжающих на дорогу в единицу времени. Очевидно, что в сечении l4 число автомобилей на единицу поверхности дороги будет больше, чем в сечении l1: p4-p1=DN/Dt*1/vl, скорость v и ширина потока l в этих сечениях одинаковы.