пользователей: 21219
предметов: 10452
вопросов: 177398
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Физика

Вынужденные колебания

Рассмотрим колебания осциллятора под действием внешней вынуждающей колебания силы, меняющейся по гармоническому закону c частотой Ω:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

Тогда уравнение, описывающее осциллятор, будет выглядеть так:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.                                     (20.1)

После деления на массу тела, обозначив%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, получим неоднородное дифференциальное уравнение:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.                                   (20.2)

Его решением будет сумма двух решений:%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

Первое слагаемое – решение соответствующего однородного уравнения (без правой части), которое мы уже знаем: %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

Второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Найдем его. Для этого перейдем к дифференциальному уравнению с комплексными функциями, заменив в правой части гармоническую функцию на экспоненциальную функцию, поскольку %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

Ищем частное решение в виде %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, тогда %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, а %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%. После подстановки производных и сокращения общего, не равного нулю множителя %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, получаем характеристическое уравнение:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%,

из которого Zo равно:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%

Приведем его к стандартной форме, избавившись от мнимой единицы в знаменателе:

.

Представим комплексное число Zo в экспоненциальной форме:%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%. Тогда

 и

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

Окончательно для частного решения неоднородного уравнения получим:

,

где %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1% а %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.(20.3)

Проведем анализ полученного решения. Пусть в момент времени t=0 включается внешняя сила F, которая меняется по гармоническому закону. Со временем, вклад в общее решение x1(t) будет экспоненциально убывать. При условии, что %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%. Слагаемое x2(t) будет описывать установившиеся колебания с частотой %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, фаза которых будет отставать от фазы колебаний внешней силы F на величину %D1%8B%D0%B0(9).jpg. Амплитуда установившихся колебаний p=x20 будет зависеть от частоты %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

 При частоте стремящейся к нулю (%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA.jpg) амплитудная величина смещения оказывается равной:

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(1).,

что совпадает со статическим смещением из положения равновесия под действием постоянной силы (закон Гука).

При частоте %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, называемой резонансной частотой, амплитуда установившихся колебаний будет максимальной. Условие экстремума функции x20(%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%):

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(2)..

Поскольку при резонансе %D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(3)., для резонансной частоты получаем следующее значение:

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(4)..                                      (20.4)

После подстановки этой частоты в выражение для амплитудного смещения                x20(%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%)получим амплитуду резонансных колебаний:

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(5)..

Отношение этой амплитуды к статическому смещению будет равно:

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(6)..

Если затухание мало (при условии%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(7).), то это отношение оказывается равным добротности осциллятора:

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(8)..

На рис.20.1 изображены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты, вынуждающей колебания силы, для различных коэффициентов затухания. В соответствии с выражением (20.4) чем больше затухание, тем меньше резонансная частота.

Проанализируем зависимость сдвига фазы %D1%8B%D0%B0(9).jpg вынужденных колебаний от частоты, вынуждающей колебания силы %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

При частоте %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%->, сдвиг фазы также стремится к нулю - %D1%8B%D0%B0(9).jpg->.

Рис.20.1

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(9).

                При частоте %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%->

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(10),

а сдвиг фазы будет равен Pi/2. При частоте %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%->бескон.

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(11),

причем к нулю это выражение будет стремиться со стороны отрицательных значений. Тогда, при условии %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%->бескон, сдвиг фазы будет стремиться к значению, равному Pi.

На рис.20.2 изображена зависимость фазового сдвига от частоты вынужденных колебаний %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1% для трех различных коэффициентов затухания. Графики на рис. 20.1 и 20.2 построены для резонансной частоты %D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(12) и коэффициентов затухания %D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BB%D0%B4%D0%BE(20), равных 4,5,8 c^-1.

Рис.20.2

%D0%B0%D0%B8%D1%83%D0%B8%D1%83%D0%BA(13)

В заключение приведем добротности некоторых осцилляторов (таблица 20.1). Для камертона приведены различные частоты: 436 Гц –“петербургский камертон” конца 18 века, 435 Гц – международный эталон высоты звука (Вена, 1885), 440 Гц – международный эталон принятый в настоящее время.

Таблица 20.1

 

Осциллятор

 

 

Резонансная частота, Гц

 

 

Добротность

 

Струна

 

 

 

ля первой октавы

436, 435, 440

 

10^3

 

Камертон

 

 

10^4

 

кварцевый резонатор

 

 

10^5 – 10^8

 

10^6-10^9

 

электрон в атоме

 

 

~10^15

 

10^7

 

возбужденное ядро Fe57

 

 

~3 10^18

 

3 10^12


16.10.2014; 23:41
хиты: 166
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь