пользователей: 21241
предметов: 10456
вопросов: 177505
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Физика

Затухающие колебания

Если на тело, которое колеблется в области минимума потенциальной энергии (изучаем тот же осциллятор, что и в §17), действует сила сопротивления, то полная энергия тела уменьшается:

.

Для дифференциального уравнения, описывающего колебания в этом случае, получим:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%                      (19.1)

Среди всего многообразия сил сопротивления оценим силу сопротивления, действующую на тело (диск площадью S) при движении со скоростью v в газе, концентрация молекул которого равна n (рис.19.1).

Рис.19.1

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%

Если скорость диска много больше скорости молекул газа Vo, то сила сопротивления, равная импульсу, передаваемому молекулами при ударах (считаем их абсолютно упругими) в единицу времени, будет пропорциональна квадрату скорости:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Если скорость молекул газа много больше скорости движения тела, то давление газа, пропорциональное квадрату скорости молекул, будет различным для левой и правой сторон диска:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Поскольку средние скорости теплового движения молекул газа составляют сотни метров в секунду, то для анализа затухающих колебаний во многих случаях мы можем считать силу сопротивления пропорциональной скорости тела:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Тогда уравнение гармонического осциллятора с затуханием будет иметь вид:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.                                       (19.2)

Разделим каждое слагаемое на массу частицы и используем следующие обозначения:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Коэффициент %D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BB%D0%B4%D0%BE(19) называют коэффициентом затухания. После этих преобразований уравнение гармонического осциллятора с затуханием примет вид:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.                                     (19.3)

Подстановка %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1% дает характеристическое уравнение:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Корни этого уравнения:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

При малом затухании %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1% корни будут равны %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%, где %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%- частота колебаний осциллятора с затуханием.

Общее решение получим в виде:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%               (19.4)

Из решения видно, что со временем амплитуда гармонических колебаний экспоненциально убывает. Также по экспоненциальному закону будет убывать и энергия осциллятора:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Рис.19.2

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%

Функция (19.4) изображена на рисунке 19.2. Значения параметров этой функции: начальная фаза %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%, коэффициент затухания %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%, циклическая частота колебаний %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%. Огибающие функции на рисунке – экспоненты %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.

Если энергия осциллятора незначительно меняется (на величину %D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%) за время равное периоду колебаний Т, то можем определить новую характеристику осциллятора, называемую добротностью Q, следующим образом:

%D0%B5%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%.           (19.5)

Кроме добротности используют еще одну величину, характеризующую затухание, которая называется логарифмическим декрементом затухания %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%:

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%

Чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

При большом затухании, если %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1% получим решение в виде %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%. Если же %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1% корни характеристического уравнения %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1% будут вещественными. В общем решении

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%

постоянные z1,z2 также будут вещественными числами x1,x2. Эти постоянные интегрирования можно определить из начальных условий. Пусть начальное смещение равно: %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%, а начальная скорость равна нулю: %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%. Тогда общее решение получим в виде

%D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1%.

Итак, движение тела при %D1%89%D0%B3%D1%88%D1%89%D0%B3%D0%BD%D1% будет апериодическим (непериодическим), система будет релаксировать в состояние с минимумом потенциальной энергии.


02.10.2014; 00:07
хиты: 280
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь