Физический маятник

Один из примеров гармонического осциллятора – маятник, совершающий малые колебания под действием силы тяжести (физический маятник). Решим задачу о движении физического маятника, используя уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения.

Тело массы m подвешено в точке O (начало координат), ось вращения z перпендикулярна плоскости рисунка, rc- радиус-вектор центра масс тела (rc=l), скорость центра масс - vc, L – момент импульса тела, М – момент силы тяжести, действующей на тело (рис.18.1). Угловую скорость вращения тела далее будем обозначать , чтобы не путать ее с циклической частотой колебаний маятника   o.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела связывает изменение момента импульса тела с моментом силы, действующей на него:

.

Рис.18.1

Вектора М и dL коллинеарные, направлены от нас перпендикулярно плоскости рисунка. Проектируя вектора на ось z,  получим:

Итак, используя формально уравнения динамики, мы не получили уравнения гармонического осциллятора. В данном случае мы для исправления ситуации произносим: поскольку момент силы тяжести стремится вернуть тело в положение равновесия, его проекция должна браться со знаком минус. В итоге получаем “правильное” уравнение гармонического осциллятора. Отметим, что подобных проблем у нас не возникало при описании финитных движений с использованием закона сохранения энергии. Не возникнет и в этом случае:

В произвольный момент времени , для малых углов отклонения получим уравнение гармонического осциллятора:

.

Частота колебаний физического маятника будет равна:

                                                     (18.1)

Для частного случая материальной точки массы m на невесомом подвесе длины l (математический маятник) получим частоту колебаний, равную:

Для физического маятника величина

называется приведенной длиной, а точку O'(рис.18.1) называют центром качания. Если ось вращения будет проходить через эту точку, то частота колебаний маятника не изменится.