пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Гармонический осциллятор

 

                При общем анализе движения частицы в потенциальном поле (§11, рис.11.1) мы пришли к выводу о том, что частица с полной энергией Е, равной E2, будет двигаться в ограниченной области пространства x1<=x<=x2. Особый интерес представляет движение с малыми отклонениями от положения равновесия, для которого может быть найдено точное решение.

Любую функцию мы можем разложить в степенной ряд (ряд Тейлора) по малому параметру так, что каждое последующее слагаемое будет меньше предыдущего. В разложении мы можем ограничиться только первыми несколькими, заметно отличающимися от нуля, слагаемыми. Выберем начало координат в точке минимума потенциальной энергии, тогда потенциальная энергия будет равна:

 

, где %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(1)..

 

Первое и второе слагаемое в разложении при нашем выборе начала координат равны нулю, вторую производную в третьем слагаемом обозначим k, тогда потенциальная энергия может быть представлена в виде квадратичной функции координаты:

%D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(2).

 

                Если пренебречь действием неконсервативных сил, то полная энергия частицы будет сохраняться: E=U+Eк=const. Продифференцировав по времени, получим:

 

%D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(3)..

 

Скорость частицы в произвольный момент времени %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(4)., тогда окончательно получим дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее колебательное движение частицы:

 

%D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(5).                                                          (17.1)

 

где использовано обозначение %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(6)..   

Это уравнение называют уравнением гармонического осциллятора (от латинского слова oscillation – качание, раскачивание на качелях).

                Подстановка функции %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(7).с учетом того, что %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(8)., дает характеристическое уравнение: %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(9).. Его решение - %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(10). На общее решение дифференциального уравнения

 

%D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(11)

 

будет накладываться ограничение, поскольку x(t)- вещественная функция:

 

%D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(12)

Числа z и z*- комплексно сопряженные числа, различающиеся знаком перед мнимой частью: %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(13).

Для значений %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(14) это условие выполняется. Окончательно уравнение движения гармонического осциллятора получим в виде тригонометрической функции, используя формулу Эйлера %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(15):

. Итак, координата движущегося тела в параболической потенциальной яме будет меняться со временем по гармоническому закону:

 

%D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(17).                              (17.2)

 

Параметры этой функции имеют следующие названия:

Xo- амплитуда колебаний;

%D0%BA%D1%83%D1%83%D1%80(4).jpgo- циклическая частота колебаний;

- начальная фаза колебаний.

Кроме этих параметров для описания колебаний используем следующие величины: %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(18)- период колебаний; %D1%84%D0%BF%D0%BA%D0%BF%D1%83%D0%BA(19)- частота колебаний.

                Отметим основные свойства гармонического осциллятора:

1)частота колебаний не зависит от их амплитуды;

2)выполняется принцип суперпозиции: если x1 и x2 - решения уравнения (17.1), то их линейная комбинация C1x1+C2x2 - так же решение этого уравнения;

3)средние за период колебаний значения кинетической Eк и потенциальной энергии U равны между собой.

Покажем справедливость последнего утверждения, проведя прямые вычисления:

 

                Систем в природе, анализ которых приводит в первом приближении к задаче о гармоническом осцилляторе, множество: поплавок (любое плавающее тело) на поверхности воды; тело, висящее на пружинке; колебания заряда конденсатора, параллельно соединенного с катушкой индуктивности; атом в узле кристаллической решетки твердого тела и т.д.


15.01.2014; 18:31
хиты: 93
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь