Тензор инерции твердого тела/Преобразование тензора инерции

В общем случае, при вращении несимметричного тела даже с постоянной угловой скоростью (равномерное вращение вокруг неподвижной оси с =const) его вектор момента импульса будет меняться во времени. Покажем это на простейшем примере вала, на котором закреплены по краям две точечные массы m на расстоянии a от оси вращения, как показано на рис.15.1 (массой вала и элементов крепления пренебрегаем). В этом случае центр масс вала находится на оси вращения и, казалось бы, никаких дополнительных реакций в опорах быть не должно. Однако это не так, в опорах возникнут дополнительные реакции. Определим их исходя из самых общих рассуждений, основанных на законе сохранения момента импульса.

Вектор L1 будет направлен по оси вращения, вектор L2, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора r2 и p2, будет направлен под углом к оси вращения.

Рис.15.1

Суммарный момент импульса вращающегося тела также будет направлен под углом к оси вращения. Вектор момента импульса L будет вращаться при вращении вала. В момент времени, когда тела массы m находятся в плоскости рисунка, вектор dL  будет перпендикулярен плоскости рисунка, также будет направлен и вектор момента сил, возникающих в опорах и действующих на вал. Эти силы F1и F2 будут направлены в данный момент времени так, как показано на рисунке. Появление момента сил интуитивно понятно, поскольку в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимся валом, центробежные силы инерции, хотя и равные по величине и противоположные по направлению, приложены к разным точкам.

Определим связь между вектором угловой скорости и вектором момента импульса твердого тела в общем виде:

.

Для двойного векторного произведения используем тождество:

.

Тогда для момента импульса получим:

Это же самое выражение для вектора момента импульса тела мы получим, если представим его в виде произведения квадратной матрицы на вектор угловой скорости тела (матрица столбец):

Итак, мы определили связь момента импульса тела с вектором угловой скорости   следующим образом:

                                    (15.1)

Совокупность девяти приведенных выше коэффициентов - тензор инерции (тензор 2 ранга):

Происхождение термина тензор связано с теорией упругости, в которой впервые в физике для описания зависимости упругой деформации от приложенной к телу силы появилась потребность в подобных величинах. Tensio - в переводе с латинского - напряжение (упруго деформированного тела).                Заметим, что тензор инерции симметричен: .

 При работе с тензорами для краткой записи результатов пользуются соглашением о суммировании:

1) - если индекс, обозначенные греческой буквой, в произведении встречается дважды, то по нему производится суммирование, а сам он принимает значения x, y, z;

2) если индекс, обозначенный греческой буквой, встречается один раз, то он может относиться к x, y, z;

 - эта краткая запись эквивалентна системе уравнений (15.1);

3) под записью  мы подразумеваем  x, y, z; например,; если в произведении  греческий индекс дважды не встречается, то под данным произведением понимают xy, xz, zy. Используя введенные обозначения, можем дать наиболее общее определение тензора инерции с помощью интеграла, получающегося из определенных выше сумм при предельном переходе:

,                          (15.2)

где - символ Кронекера. Интегрирование ведется по всему объему тела V.

В заключение сделаем несколько общих замечаний о тензорах. Мы определили тензор инерции в некоторой системе координат. При переходе к другой системе координат все компоненты тензора инерции меняются (например, меняется осевой момент инерции Ixx, и т.д.). В тоже время знание всех компонент Iij в какой-либо системе координат позволяет определить их в любой другой системе координат, следовательно, совокупность всех 6 чисел (для симметричного тензора инерции, а в произвольном случае 9 чисел) Iij имеет смысл независимый от выбора системы координат. Соответствующим выбором системы координат можно преобразовать тензор инерции к диагональному виду:

.

Оси в этой системе координат называют главными осями, а само тело с точки зрения динамики вращательного движения может быть представлено в виде эллипсоида вращения (эллипсоид инерции).

Величиной, характеризующей тензор инерции и не зависящей от выбора системы координат, является след (от немецкого spur – след, иногда в литературе используется англоязычное сокращение Tr от trace - след) тензора инерции:

= inv.

Для примера использования тензора инерции решим задачу о вращении однородного параллелепипеда, плотность которого p, вокруг неподвижной оси, совпадающей с его диагональю. Найдем угол , который при таком вращении составляет вектор момента импульса с осью вращения. Вначале определим тензор инерции параллелепипеда в системе координат, оси которой проходят через его центр и перпендикулярны граням (рис.15.2).  Эти оси – главные оси.

Ребро параллелепипеда вдоль оси x имеет длину a, вдоль оси y – b, вдоль оси z – c. Диагональ, вдоль которой направлен вектор угловой скорости, составляет с осью x угол , с осью y -, с осью z -. Вектор угловой скорости равен:

.

Рис.15.2

Компонента тензора Ixx равна:

Компонента тензора Ixy  оказывается равной нулю:

Аналогично определяем остальные компоненты тензора инерции. Он имеет диагональный вид:

.

След этого тензора инерции равен:

.

При условии a->0 и b->0 получим осевой момент инерции стержня, вращающегося вокруг оси перпендикулярной ему полученный ранее - mc^2/12.

Вектор момента импульса тела получим, умножая тензор инерции на вектор угловой скорости:

Искомый угол  определим, вычислив скалярное произведение вектора момента импульса и вектора угловой скорости:

Если a=b=c  (вращается куб), то =0  и момент импульса параллелен оси вращения проходящей через большую диагональ куба.

Пример преобразования тензора инерции при переходе из одной системы координат в другую рассмотрим, решая задачу по определению момента импульса вращающегося вала с закрепленным на нем тонким диском. Если диск на валу закреплен симметрично, то ось вращения совпадает с главной осью и момент импульса параллелен оси вращения. Если же при установке диска на вал его плоскость оказалась повернутой на угол  относительно оси вращения, то вектор угловой скорости и вектор момента импульса оказываются неколлинеарными. Определим угол  между ними.

Тензор инерции диска в системе координат (x,y,z) образованной главными осями (рис.15.3) определим, уже зная осевые моменты инерции:

.

Рис.15.3

Определим тензор инерции в системе координат (x',y',z') , повернутой на угол  вокруг оси x.

После поворота новый базис определяется следующим образом:

.

Тензор  - тензор преобразования системы координат, он связывает новый базис (i',y',z')  с исходным базисом (i,j,k).

Тензор инерции в новой системе координат равен:

,

где T+ - транспонированная матрица (матрица в которой строки меняем со столбцами) преобразования системы координат:

 .

Проведя перемножение матриц, получим момент инерции I' :

.

Пусть диск вращается вокруг неподвижной оси z' с угловой скоростью , тогда момент импульса для вращающегося тела в положении, показанном на рис.15.3 будет равен:.

Тангенс угла, который момент импульса будет составлять с осью вращения, будет равен:

.

Сделаем оценку момента силы  , действующей на вал с диском. Для диска массы 1 кг радиусом 1 м, закрепленным с поворотом на =0.50, который вращается с частотой 20000 об/мин (максимальная частота вращения вала двигателя для машины формулы 1), получим момент силы 10^4н·м. Если расстояние между подшипниками 1 м, то на подшипники будет действовать сила 10^4 н.

Поскольку во многих современных машинах частота вращения достигает десятков и сотен тысяч оборотов в минуту (ультрацентрифуги, турбомолекулярные насосы и т.д.), единственный способ ликвидировать нежелательные реакции в подшипниках – обеспечить коллинеарность векторов момента импульса и угловой скорости.

В заключение отметим, говоря о тензорах, что все величины, с которыми мы сталкивались в физике, можно считать тензорами (различных рангов).

Скаляр - тензор нулевого ранга, задается  (3^0=1)  одним числом.

Вектор - тензор первого ранга, задается  (3^1=3) тремя числами.

Тензор второго ранга, задается (3^2=9) девятью числами. Особое место среди тензоров второго ранга занимает тензор преобразования базиса при переходе из одной системы отсчета в другую. Перечислим физические величины, которые являются тензорами второго ранга: уже упоминавшийся момент инерции твердого тела, удельная проводимость анизотропной среды, коэффициент теплопроводности анизотропной среды, коэффициент поляризуемости анизотропного диэлектрика, напряжение в деформированной среде и т.д.

Тензор третьего ранга, задается (3^3=27) двадцатью семью числами. Пример такого тензора - тензор пьезоэлектрических модулей неоднородной среды.

Тензор четвертого ранга - тензор модулей упругости анизотропной среды. Для пояснения скажем, что анизотропной средой является такая среда, в которой какое-либо свойство ее оказывается зависящим от направления.