Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии, к которому мы сейчас переходим, нельзя получить из общих принципов, его можно только обосновать на основе анализа экспериментальных фактов. Поэтому рассмотрим несколько частных случаев и сделаем на их основе некоторые обобщения.

1. Невзаимодействующие частицы. Импульс частицы, которая не взаимодействует с другими, сохраняется.  В этом случае не меняется и ее кинетическая энергия:

.

Для системы из N не взаимодействующих частиц кинетическая энергия будет равна сумме их кинетических энергий:

.                                                        (11.1)

Полная энергия такой системы, равная кинетической энергии, будет сохраняться.

                При переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся с относительной скоростью Vo, кинетическая энергия тела меняется:

Если система состоит из N тел, то, суммируя подобные уравнения для всех тел, получим:

 ,                          (11.3)

где p – импульс системы.

2. Для двух взаимодействующих частиц их кинетическая энергия будет меняться. Пусть между частицами есть два взаимодействия – электромагнитное и гравитационное. Тогда сумма кинетической энергии и энергии их взаимодействия  (потенциальной энергии) в системе отсчета, связанной с центром масс, будет равна:

где - постоянная величина (заряды частиц считаем одноименными). Определим производную этой суммы по времени, учитывая, что:

- один и тот же модуль силы, действующей на каждую из частиц. Тогда для производной получим:

Видно, что сумма кинетической и потенциальной энергий частиц сохраняется.

Результат, полученный для двух частиц, можем обобщить на систему, состоящую из многих частиц в силу принципа суперпозиции полей.

3. Частица во внешнем поле. Если частица движется во внешнем потенциальном поле, то работа силы поля, равная убыли потенциальной энергии, приводит к увеличению кинетической энергии частицы:

(11.4)

Видно, что полная механическая энергия частицы Е, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий, сохраняется.

Проведем анализ движения частицы в потенциальном поле, зависящем для простоты только от одной координаты: U(x,y,z)=U(x)(рис.11.1).

Если частица будет обладать энергией E1, то при движении из любой начальной точки она удалится от начала координат на бесконечность. Если частица будет обладать энергией E2, то в зависимости от того, где она будет находиться в начальный момент времени, возможны разные варианты движения.

При условии x>=x3 частица так же, как и в первом случае, удалится на бесконечность. Такое движение в безграничной области пространства – инфинитное движение. Если же в начальный момент времени координата частицы будет находиться в пределах x1<=x<=x2, то движение частицы будет периодическим движением в ограниченной области пространства (финитное движение). Точки x1 и x2 - точки остановки. В этих точках скорость тела будет равна нулю, полная энергия будет равна потенциальной энергии.

Рис.11.1

При смещении из положения устойчивого равновесия, которое соответствует локальному минимуму потенциальной энергии, когда x=xmin, на частицу будет действовать сила, направление которой показано стрелками на рис.11.1:

.

В точке с координатой x=xmax частица будет находиться в положении неустойчивого равновесия, если ее полная энергия будет равна потенциальной энергии Umax(локальный максимум). Достаточно небольшого смещения вправо из этой точки и частица уйдет из положения неустойчивого равновесия на бесконечность.

4. Если среди сил, действующих на частицу, есть неконсервативные силы, то ее полная механическая энергия Е, равная сумме кинетической и потенциальной, не сохраняется. Изменение полной механической энергии будет равно работе неконсервативных сил:

dE=dA                                          (11.5)

Среди неконсервативных сил (сил, работа которых зависит от того, по какому пути тело переходит из начальной точки в конечную точку участка траектории) наиболее часто мы сталкиваемся с различными силами сопротивления: сила трения, сила сопротивления воздуха, сила вязкого трения при движении в жидкости и пр. Работа сил сопротивления всегда отрицательна, поэтому полная энергия системы при их наличии всегда уменьшается.

Среди неконсервативных сил есть и такие, работа которых положительна, полная энергия системы в этом случае может увеличиваться. Пример такой неконсервативной силы – реакция опоры (дороги), действующая на автомобиль при включенном двигателе. При разгоне автомобиля реакция опоры (горизонтальная составляющая) направлена по вектору скорости автомобиля при прямолинейном движении, она превышает силу сопротивления. Когда эти силы выравниваются, автомобиль перестает ускоряться и движется с постоянной скоростью.

В заключение отметим, что полная энергия системы – величина аддитивная, после объединения нескольких систем полная энергия будет равна сумме полных энергий объединяемых систем.