Кинетическая энергия

Определим работу силы за малый промежуток времени dt как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещении тела за этот промежуток времени:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C.jpg . (9.1)

Работа силы за конечный промежуток времени Dt=t2-t1 будет равна интегралу

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(1). . (9.2)

Данный интеграл – криволинейный интеграл, который вычисляется на участке траектории от точки 1 до точки 2 (рис.9.1). Дадим более подробное определение этого интеграла. Разобьем участок траектории от точки 1 до точки 2 на N частей. Вектор перемещения для i-ой части траектории равен Dri, сила, действующая на тело в данный момент времени, будет равна Fi, работа %D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(2). . Тогда на всем участке траектории от точки 1 до точки 2 работа силы будет равна:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(3). .

Работа, совершаемая силой в единицу времени – мощность силы:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(4). . (9.3)

Мы видим, что мощность силы равна скалярному произведению ее на вектор скорости. Поэтому, если сила перпендикулярна вектору скорости (например, при равномерном движении по окружности), то ее работа (и мощность) равна нулю.

Рис.9.1

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(5).

Изменение импульса тела обусловлено действующей на него силой (6.1): dp/dt=F. Если масса тела при движении не меняется, то работа силы при малом перемещении тела dr будет равна:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(6).

После интегрирования получим результат, который говорит нам о том, что работа силы при перемещении тела на любом участке траектории будет равна изменению новой функции:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(7). , (9.4)

которую мы определим как кинетическую энергию тела. Итак, работа силы, действующей на тело, будет равна изменению его кинетической энергии:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(8). .

Для системы, состоящей из N тел, можно определить ее кинетическую энергию, равную сумме кинетических энергий всех тел системы.

Найдем связь кинетической энергий N тел, определенной в системе центра масс -T' и в произвольной системе отсчета T:

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(9).

%D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(10) ,

где p- импульс частиц в произвольной системе отсчета. При нахождении связи энергий мы использовали правило преобразования скоростей: %D1%80%D1%82%D1%8C%D1%80%D0%BF%D1%8C(11) .