Закон сохранения импульса.

                После того, как в кинематике мы определили скорость тела, проведем эксперимент по изучению столкновений двух тел. На рис.5.1 показаны два взаимодействующих в точке А тела. Будем считать тела достаточно малыми, критерий малости нам пока определить сложно. Забегая вперед и используя понятие кинетической энергии, можно определить его следующим образом: кинетическая энергия поступательного движения тел должна быть много больше кинетической энергии их вращательного движения. Для большей определенности будем считать все тела, о которых речь пойдет ниже, материальными точками.

Мы можем измерить скорости тел до столкновения и после него.

Рис.5.1

Проанализировав результаты, мы обнаружим, что во всех столкновениях выполняется условие: (изменения векторов скоростей в различных столкновениях могут быть разными, но коэффициент k всегда будет оставаться неизменным). Для другой пары тел коэффициент k будет также неизменен, а значение его будет другим.

Из всех тел выберем одно, которое назовем эталоном. Изучая столкновения всех прочих тел с эталоном, можем измерить коэффициенты пропорциональности k1, k2, и т.д. Они определяют инертные массы тел, измеренные в единицах массы эталона. Эталонная масса в системе СИ – килограмм и она, примерно, соответствует массе 1 дм3 воды при 4 0С. После определения понятия массы тела m, анализ столкновений 1 и 2 тел всегда будут приводить к следующему результату:

Векторная величина p=mv - импульс тела. Если система состоит из N тел, то можно определить импульс системы как векторную сумму импульсов тел, из которых она состоит (импульс системы – величина аддитивная):

.                                  (5.1)

Мы можем сформулировать один из фундаментальных законов природы - закон сохранения импульса, отклонений от которого еще не наблюдалось: импульс замкнутой системы сохраняется (замкнутая система – система из нескольких тел, не взаимодействующих с другими телами). Отметим, что получить этот закон природы из более фундаментальных принципов невозможно. Можно только показать связь этого закона сохранения с однородностью пространства. Мы его формулируем, обобщая результаты экспериментов.

Пользуясь только законом сохранения импульса, можно решить некоторые задачи физики. Рассмотрим две такие задачи.

1. Абсолютно неупругое соударение двух тел. После такого соударения тела движутся как единое целое. Примеры – столкновение двух кусочков пластилина (рис.5.2),  столкновение метеорита или кометы с планетой, захват электрона положительно заряженным ионом, слияние двух ядер и т.д.

Рис.5.2

Импульс системы из двух тел сохраняется:

.

Можем определить скорость составного тела после удара:

.

                2. Движение тела с переменной массой. Примеры такого движения – полет ракеты с работающим двигателем, в котором сгорает большое количество топлива; падение капли в перенасыщенном паре; движение сгорающего в атмосфере Земли метеорита;  и т.д.

Пусть от тела (ракета с работающим двигателем) массой m за время dt отделяется часть массой dm с относительной скоростью v0 в направлении противоположном направлению движения тела (рис.5.3).

Рис.5.3

По закону сохранения импульса:

.

После проектирования на направление движения получим:

.

Под значениями m и dm в законе сохранения импульса мы подразумевали массу ракеты и отделившуюся от нее за время dt массу сгоревшего топлива. Если под массой ракеты будем подразумевать меняющуюся во времени функцию, а под dm- изменение этой функции, то в полученном дифференциальном уравнении добавится знак минус, поскольку dv>0,а dm<0:

.

 Интегрируем это уравнение:

.

Здесь M –начальная масса ракеты, начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты экспоненциально убывает с ростом скорости. Скорость по мере убывания массы ракеты логарифмически растет.