пользователей: 21281
предметов: 10473
вопросов: 178149
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Физика

Ускорение тела.

Для характеристики изменения скорости тела во времени определим ускорение тела:

%D1%88%D0%B4%D0%BF%D0%B3.jpg

Поскольку вектор скорости в каждый момент времени равен произведению модуля %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg на единичный вектор %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg, мы можем определить вектор ускорения в виде суммы двух векторов. Первый из них, направленный по касательной к траектории, называется тангенциальным ускорением.

Для определения второго слагаемого необходимо определить производную единичного вектора %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg по времени. Вначале отметим, что этот вектор будет перпендикулярен вектору %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg. Действительно, дифференцируя скалярное произведение %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg*%D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg=1, получим %D1%8B%D0%BC%D1%8B%D0%B2%D0%BC.jpg. Поскольку скалярное произведение векторов %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg и d%D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg/dt равно нулю, они взаимно перпендикулярны. Далее определим вектор %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg(t1) в момент времени t1, вектор %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg(t2)  в момент времени t2, найдем их разность, предварительно перенеся вектор %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg(t2)  в начало вектора %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg(t1). На рис.3.1 R1– радиус кривизны траектории в момент времени t1, R2 – в момент времени t2.

Рис.3.1

%D1%80%D0%B8%D1%811(1).jpg

Радиус кривизны траектории в данный момент времени (для определенности R1) – радиус окружности, совпадающей с траекторией в окрестностях точки 1. При движении тела по траектории на промежутке времени Dt=t2-t1, центр кривизны траектории (центр вписанной окружности) перемещается по пунктирной кривой (рис.3.1), называемой эволютой.

При условии Dt->0первая и вторая точки на траектории оказываются на окружности с радиусом R1. В этом случае, тело за бесконечно малое время dt поворачивается по окружности радиуса R1 на бесконечно малый угол d - рис.3.2. Не забывайте об условности этого рисунка, изобразить бесконечно малый поворот невозможно. За время dt единичный вектор %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg также поворачивается на угол d. Поскольку модуль вектора %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg равен 1, модуль вектора d%D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg будет равен d, а направлен он будет перпендикулярно касательной к траектории. В тоже время:

%D0%B2%D0%BF%D1%8B%D0%BC%D0%BF%D1%8B.jpg.

Тогда для производной вектора %D1%82%D1%82%D1%82%D1%82.jpg по времени получим:

%D0%BA%D1%86%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%B5%D1%,

где n – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной. Окончательно, второе слагаемое вектора полного ускорения (назовем его нормальным ускорением) будет равно:

%D0%B9%D1%86%D1%86%D0%B9%D1%86.jpg

Рис.3.2.

%D1%80%D0%B8%D1%812(3).jpg

Вектор нормального ускорения направлен к центру кривизны траектории в данной ее точке.

Полное ускорение тела:

%D0%B3%D1%88%D1%89%D1%88%D1%89%D0%BE%D1%

мы определили для определенного момента времени t1 в системе координат связанной с траекторией движения тела.

Если нормальное ускорение тела равно нулю, то траектория его движется – прямая линия. Если тангенциальное ускорение равно нулю, то скорость по модулю не меняется, траектория же может представлять собой любую кривую.

Зная вектор скорости и ускорения тела в какой-то момент времени, мы можем найти радиус кривизны траектории в данный момент времени. Для этого определим модуль векторного произведения ускорения и скорости:

%D0%BA%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%B5%D0%BD%D0%.

Тогда радиус кривизны траектории будет равен:

34656.jpg

В заключение найдем связь между ускорениями тела, определенными в двух системах отсчета K и K' (рис.2.3). Связь скоростей тела в этих системах дается уравнением (2.5). Дифференцируя его по времени получим

%D1%80%D0%BF%D0%B4%D0%BF.jpg

где a0 - ускорение K' системы относительно K системы отсчета.


02.10.2014; 00:42
хиты: 147
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь