8.Урновая схема

Есть урна (то есть ящик), содержащая  занумерованных объектов, которые мы без ограничения общности будем считать шариками. Мы выбираем из этой урны  шариков. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать  шариков из , или сколько различных результатов(то есть наборов, состоящих из  шариков) получится.

На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся

а) с тем, как организован выбор (скажем, можно ли шарики возвращать в урну), и

б) с тем, что понимается под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные схемы выбора: 
 

1. Выбор с возвращением: каждый выбранный шарик возвращается в урну, то есть каждый из  шариков выбирается из полной урны. В полученном наборе, состоящем из  номеров шариков, могут встречаться одни и те же номера (выборка с повторениями).

2. Выбор без возвращения: выбранные шарики в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера (выборка без повторений).

И в том, и в другом случае результатом выбора является набор из  номеров шариков. Удобно считать, что шарики всегда выбираются последовательно, по одному (с возвращением или без). Условимся, какие результаты мы будем считать различными. Есть ровно две возможности.
 

1. Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трех шариков из урны, содержащей 5 шариков, наборы ,  и  различны, если производится выбор с учетом порядка.

2. Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, в примере выше первые два набора  и  есть один и тот же результат выбора, а набор   —  другой результат выбора.

Подсчитаем теперь, сколько же возможно различных результатов при каждой из четырех схем (выбор с возвращением и без, и в каждом из этих случаев учитываем ли мы порядок или нет).

Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка