Пусть плоская система из прямолинейных стержней деформировалась и ее точки получили малые перемещения. Вырежем малый элемент dS, который испытывает деформации удлинения, сдвига и изгиба. Левое сечение его будем считать неподвижным. Обозначим ΔS, Δy, Θ – удлинение, сдвиг, угол поворота сечения. Требуется определить перемещение Δ точки К. Для этого сформируем вспомогательное единичное состояние той же системы: по направлению искомого перемещения приложим единичную силу и определим возникшие от нее внутренние усилия M, Q, и N. Приращениями dM, dQ, и dN будем пренебрегать. Единичное состояние является состоянием равновесия, тогда согласно принципу возможных перемещений сумма возможных работ сил этого состояния на любых возможных перемещениях равна 0.
Внешняя сила cовершает на перемещении Δ возможную работу . Внутренние усилия , , на перемещениях ΔS, Δy, Θ - .
Полную работу внутренних сил получим интегрированием:
, ,
- общая формула для перемещений в плоской системе.
Для пространственной стержневой системы аналогично
Замечание:
1) по этим формулам можем найти не только линейное, но и угловое перемещение, приложив в единичном состоянии к системе единичный момент.
2) При использовании формул несущественно, от чего возникают деформации системы: от нагрузки, изменения температуры, смещения опор и т.д. Важно лишь то, что они д.б. известны. Стержневая система может быть как статически определима, так и неопределима.
3) При определении работ внутренних сил каждому перемещению соответствует своя сила, которая не вызывает перемещений в других направлениях. Это справедливо для прямых стержней и стержней малой кривизны. Для стержней большой кривизны N кроме удлинения вызывает поворот сечений, а М кроме поворота – удлинение эл-та. Поэтому эти силовые факторы совершают допустимую работу на допустимых перемещениях.
