пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

16. Асимптоты кривой и их нахождение. Пример.

Классификация асимптот

  1. Вертикальные асимптоты.
  2. Горизонтальные асимптоты.
  3. Наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.

Вертикальные асимптоты

Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов asymptote-image002.gif или asymptote-image003.gif равен бесконечности (+∞ или -∞). 
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты. 
Пример 2. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции asymptote-image004.gif
Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее asymptote-image005.gif, то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A. 
Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то asymptote-image007.gif
Пример 3. Найти горизонтальные асимптоты кривой asymptote-image008.gif
Решение. Найдем asymptote-image009.gif, то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты asymptote-image010.gif или
asymptote-image011.gif. (1) 
Разделим обе части этого равенства на x: asymptote-image012.gif, откуда 
asymptote-image013.gif. (2) 
Теперь из (1): 
asymptote-image014.gif. (3) 
Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции asymptote-image004.gif
Решение. По формуле (2) найдем asymptote-image015.gif
Теперь найдем asymptote-image016.gif. Получаем уравнение наклонной асимптоты asymptote-image017.gif.

Пример 5. Найти асимптоты кривой asymptote-image018.gif
Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как asymptote-image019.gif при asymptote-image020.gif. Ищем наклонные: 
asymptote-image021.gif
Таким образом, кривая асимптот не имеет.

Пример 6. Найти асимптоты кривой asymptote-image022.gif
Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как asymptote-image023.gif, то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: asymptote-image024.gif, следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).


20.01.2014; 20:35
хиты: 77
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь