4. Получить производные для функций y = x3, y = sin x, y = ax.

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y') постоянной есть 0

y = C => y' = 0

пример: y = 5, y' = 0

Если y есть функцией типа y = xⁿ, формула для производной есть:

y = xⁿ => y' = nx^n-1

пример: y = x³ y' = 3x^3-1 = 3x²
y = x^-3 y' = -3x^-4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y' функции y = x = x¹that:

если y = x тогда y'=1

y = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) ...=>
y' = f'₁(x) + f'₂(x) + f'₃(x) ...

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x² + x + 1 и g(x) = x⁵ + 7 и y = f(x) + g(x) тогдаy' = f'(x) + g'(x) => y' = (x² + x + 1)' + (x⁵ + 7)' = 2x¹ + 1 + 0 + 5x⁴ + 0 = 5x⁴ + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x).g(x) => y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y'=C'.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y' = C.f'(x)

Формулы вычисления производной

y =

f(x)

g(x)

y' =

f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

g²(x)

y = ln x => y' = ¹/_x

y = e^x => y' = e^x

y = sin x => y' = cos x

y = cos x => y' = -sin x

y = tg x => y' = ¹/_cos²x

y = ctg x => y' = -¹/_sin²x

y = arcsin x

y' =

√1 - x.x

y = arccos x

y' =

-1

√1 - x.x

y = arctg x

y' =

1 + x²

y = arcctg x

y' =

-1

1 + x²

если функция есть функцией функции: u = u(x)

y = f(u) => y' = f'(u).u'

Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x²)
в этом случае u = x², f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u' = 2x
y' = (sin(u))'.u' = cos(x²).2x = 2.x.cos(x²)