пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

6. Понятие монотонной функции. Понятие ограниченной функции. Примеры.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда не положительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R. Тогда

  • функция f называется возраста́ющей на M, если

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y).

  • функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y).

  • функция f называется убыва́ющей на M, если

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y).

  • функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Функция f(x)=x^3 строго возрастает на всей числовой прямой, не смотря на то, что точка x=0 являетсястационарной, т.е. в этой точке f'(x)=0.
  • Функция f(x)= \sin x является строго возрастающей не только на открытом интервале (- \pi /2; \pi /2), но и на замкнутом интервале [- \pi /2; \pi /2].
  • Экспонента f(x) = e^x строго возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R} одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
  • Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

 


20.01.2014; 19:50
хиты: 100
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь