Собственные числа и собственные подпространства лин. оператора

Пусть А – линейный оператор. Число $\lambda \in K$ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор $image006.gif$ такой, что $Ax=\lambda x$ . При этом вектор $image006.gif$ называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению $\lambda \in K$ . Множество всех собственных значений линейного оператора А называется его спектром.

Уравнение

det( $image010.gif$ ) = 0 (1)

называется характеристическим уравнением оператора А.

Для того чтобы число l было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (1) оператора А.

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным единице). Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю). Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего n линейно независимых векторов.

Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором, называется собственным подпространством этого оператора.