Лин. пространство Х (над полем скаляров К) называется нормированным, если каждому элементу этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число (норма), обозначаемое ||x|| и выполнены аксиомы нормы:
- ||x||>=0; ||x||=0 <=> x=0 (нулевой элемент)
- ||λx||=|λ|*||x||
- ||x+y||<=||x||+||y|| (неравенство треугольника)
Таким образом ЛНП это пара(с,||*||) в которой первая компонента – объект на котором определена норма, в качестве объекта(алгебраической структуры) выступает ЛП
Вторая компонента – определенная на ЛП норма, по определению изменение любой из компонент приводит к другому нормированному пр-ву.
Из аксиом ЛНП можно установить, что алгебраические операции оказываются непрерывными по норме:
- λx непрерывно, т.к. при малом изменении значения скаляра мало изменяется значение нормы элемента.
- х+у . Малое изменение одного из слагаемых в сумме мало изменяет норму суммы(аксиома треугольника)
