Числовая последовательность и ее предел

Определения числовых последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел ${{x}_{1}},\ {{x}_{2}},...,\ {{x}_{n}}$ , следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого ${{x}_{n}}$ задается как функция целочисленного аргумента $n$ , то есть ${{x}_{n}}=f\left( n \right)$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ , если для любого числа $\varepsilon >0$ существует такой номер ${{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon \right)$ , что при $n\ge {{n}_{0}}$ выполняется неравенство $\left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon$ .

Если число $a$ – это предел последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ , то это обозначают как $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a=$ $\underset{n}{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a$ , или ${{x}_{n}}\to a$ при $n\to \infty$ , или ${{x}_{n}}\xrightarrow[n\to \infty ]{}a$

ТЕОРЕМА 1

Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2

Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{n}}\pm {{y}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}\pm \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}$

Пример:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{2}}}=0+0=0$

ТЕОРЕМА 3

Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{n}}\cdot {{y}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}\cdot \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}$

Пример:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2\cdot \frac{1}{n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,2+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=2+0=2$

ТЕОРЕМА

Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}_{n}}}{{{y}_{n}}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}}{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}},\ \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}\ne 0$

числовая последовательность. предел числовой последовательности.

Числовая последовательность и ее предел

Определения числовых последовательностей