Методы решения СЛАУ
-
Метод Крамера
Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода Крамера можно выразить в трёх пунктах:
-
Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ≠0.
-
Для каждой переменной xi необходимо составить определитель Δ Xi, полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
-
Найти значения неизвестных по формуле xi= Δ Xi /Δ
Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
-
Записать три матрицы: матрицу системы A, матрицу неизвестных X, матрицу свободных членов B.
-
Найти обратную матрицу A-1.
-
Используя равенство X=A-1⋅B получить решение заданной СЛАУ.
Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных.
Преобразования, допустимые в методе Гаусса:
-
Смена мест двух строк;
-
Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
-
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
-
Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.
-
Вычеркивание повторяющихся строк.
Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.
Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.