Прямоугольная таблица каких-либо объектов называется матрицей.
Обозначается большими латинскими буквами; компоненты заполняющие ячейки таблицы называются элементами матрицы, обозначаются маленькими латинскими буквами. Каждая матрица имеет какое-то количество строк и какое-то количество столбцов.
Число строк и столбцов матрицы называется размером матрицы, на первом месте при указании размеров матрицы всегда записывается кол-во строк, а на 2-ом кол-во столбцов.
# m×n (m – число строк, n – число столбцов)
- элемент, находящийся в строке i, в столбце j.
Две матрицы равны между собой если на соответствующих позициях они имеют одинаковые элементы
Виды матриц
Если число строк совпадает с числом столбцов то матрица называется квадратной .
Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца.
Матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки.
Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой.
Если в квадратной матрице все элементы за исключением в главной диагонали равны нулю, то такая матрица называетсядиагональной.
Диагональная матрица у которой все ненулевые элементы равны 1называется единичной матрицей.
Число строк (столбцов) в квадратной матрице называется порядком этой матрицы.
Квадратная матрица у которой все элементы расположены ниже главной диагонали равны нулю называется верхней треугольной матрицей.
1. Сложение(вычитание)
Для того чтобы сложить две матрицы необходимо сложить элементы на соответствующих позициях
Складывать и вычитать матрицы можно только одного размера
2. Умножение на число
Для того чтобы матрицу умножить на некоторое число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число
3. Умножение матриц
Операция умножения матриц имеет место только в случае если число строк второй матрицы совпадает с числом столбцов первой матрицы
Элементами матрицы результата является сумма произведений элемента строки 1-ой матрицы на соответствующую по номеру элемента столбца 2-ой матрицы.
Матрица результата имеет размеры по числу строк совпадающие с 1-ой матрицей по числу столбцов со 2-ой матрицей.
-
Операция умножения матрицы часто не является выполнимой.
-
Умножение матриц не перестановочно!
В некоторых случаях изменение порядка следования матриц задает несуществующую операцию
Некоторые св-ва операций над матрицами:
-
Сложение коммутативно (перестановочно)
Ассоциативно (можно расставить скобки в производном порядке, дистрибутивно относительно умножения на число)
А+В=В+А, (А+В)+С=А+(В+С), α(А+В)= αА+αВ
(α+β)А=αА+βА
-
Умножение ассоциативно
(А*В)*С=А*(В*С)
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Элементарными преобразованиями строк называют:
-
перестановка местами любых двух строк матрицы;
-
умножение любой строки матрицы на константу
,
; -
прибавление к любой строке матрицы другой строки.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Транспонирование
Операция смены столбцов на строки и наоборот назыв-ся транспонированием.
Ранг матрицы – это число ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.
- ранг- 2
