После получения результатов эксперимента для дальнейшего их анализа проводится упорядочение данных, их графическое представление и расчет основных числовых характеристик.
Наблюдаемые значения исследуемого признака Х называют вариантами и обозначают , числа их наблюдений называют частотами и обозначаютОбщее число наблюдений называют объёмом выборки и обозначаютn,
Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. К характеристикам вариационного ряда относятся:
- Размах варьирования R — это разность между наибольшим и наименьшимзначениями,;
- Мода Мо — это варианта, имеющая наибольшую частоту;
- Медиана Ме — это варианта, делящая вариационный ряд пополам по числу вариант.
Статистическим распределением выборки называют множество вариант и соответствующих им частот. Обычно статистическое распреде-ление выборки представляют в виде таблицы:
|
… |
||||
|
… |
Эмпирической функцией распределения называется числовая функция , определяющая относительную частоту событияОна вычисляется по формуле:
(1)
где — сумма частот вариант, значения которых меньшех, n — объём выборки.
является неубывающей функцией, значения которой принадлежат отрезку .служит оценкой теоретической функции распределения, определяющей вероятность события
Основными графическими формами представления данных наблюдений являются полигон частот и гистограмма.
Полигоном частот называется ломаная линия, звенья которой соединяют точки с координатами , , … , .
Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы одинаковой длины h, а высотами — плотности интервальных частот .
Основными характеристиками выборки являются:
- Выборочная средняя , вычисляется по формуле:
. (2)
- Выборочная дисперсия , вычисляется по формуле:
. (3)
- Исправленная дисперсия , вычисляется по формуле:
(4)
- Выборочное среднее квадратическое отклонение , вычисляется по формуле:
(5)
- Исправленное среднее квадратическое отклонение s, вычисляется по формуле:
(6)
- Коэффициент вариации V, вычисляется по формуле:
. (7)
Перечисленные характеристики относятся к точечным оценкам, при малых объёмах выборки предпочтительнее пользоваться интервальными оценками.
Доверительным интервалом для параметра , точечной оценкой которого является, называют интервал, содержащий с заданной вероятностьюзначение параметра,называют надежностью оценки.
Например, в случае нормально распределённой случайной величины доверительный интервал для среднего значения при неизвестном параметре определяется формулой:
(8)
где t — критическая точка распределения Стьюдента с степенями свободы для двусторонней области на уровне значимости
Ошибки измерений классифицируют как систематические, случайные и грубые промахи.
Систематическими называют такие ошибки, которые возникают из-за известных причин, действующих по определённым законам и, как правило, в определённом направлении. Их можно количественно определить и вносить в измерения соответствующие поправки.
Случайными называют такие ошибки, причины которых неизвестны и которые невозможно учесть заранее. Такие ошибки можно выразить несколькими способами. Часто пользуются понятием предельной ошибки , под которой понимают наибольшую случайную ошибку при пользовании исправным прибором при устранённых систематических ошибках. Она может быть определена из паспорта прибора или принята равной половине наименьшего деления шкалы прибора.
При определении величины случайных ошибок можно пользоваться статистической ошибкой, полученной неоднократными измерениями обработкой результатов методами математической статистики. В этом случае последовательность определения случайных ошибок следующая:
- Прибором измеряют несколько раз (n раз) практически постоянную величину и находят её среднее арифметическое:
(9)
- Вычисляют исправленную дисперсию измеряемой величины:
(10)
и исправленное среднее квадратическое отклонение (стандарт):
(11)
3) Тогда наибольшая возможная статистическая ошибка с
вероятностью 99,73% в случае нормального закона распределения случайной величины будет:
(12)
а относительная ошибка:
(13)
