Пусть х не пустое ограниченное сверху множество чисел, тогда ∃! верхняя грань sup x.
Докажем, что минимальный элемент множества Y c lR ! :
Пусть у1, у2 ∈ Y - минимальные элементы, тогда (у1 ≤ у2) ^ (y2 ≤ y1) ⇒ y1=y2; Пусть Y множество всех верхних границ для множества Х. По условию х, у ≠ Ø и ∀x∈Х ∀y∈Y (x≤y). По аксиоме непрерывности для ∀x∈Х ∀y∈Y ∃ с∈lR (x≤c≤y), с - минимальная верхняя грань ⇒ sup(х) = с.
[7. Аксиома непрерывности
Пусть X и Y ≠ Ø ( непустые множества) lR. Если ∀x∈Х ∀y∈Y (x≤y), то ∃ с∈lR (x≤c≤y)]
