Плотность распределения вероятностей и её свойства.

5.4. Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

. (5.4.1)

Введем обозначение:

. (5.4.2)

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Рис. 5.4.1.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке (рис. 5.4.2). Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна . Величина называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (рис. 5.4.2).

Рис. 5.4.2.

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

(5.4.3)

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок , не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства в .

Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

Рис. 5.4.3.

Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

. (5.4.4)

Геометрически есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки (рис. 5.4.4).

Рис. 5.4.4.

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением