.JPG)
Известная теорема Я. Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, может быть доказана как прямое следствие закона больших чисел.
Пусть производится 
независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие 
, вероятность которого в каждом опыте равна 
. Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .
Обозначим частоту события в опытах через 
и запишем теорему Я. Бернулли в виде формулы
, (13.5.1)
где, 
- сколь угодно малые положительные числа.
Требуется доказать справедливость этой формулы при достаточно большом .
Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:
- число появлений события в первом опыте;
- число появлений события во втором опыте, и т. д.
Все эти величины прерывны и имеют один и тот же закон распределения, выражаемый рядом вида:
|
|
|
|
|
|
где 
. Математическое ожидание каждой из величин 
равно , а ее дисперсия 
(см. 
10.3).
Частота представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин 
:
,
и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин. Отсюда и следует справедливость неравенства (13.5.1).
Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом:
Если производится независимых опытов и вероятность появления события в 
-м опыте равна 
, то при увеличении частота события сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей .
