Сигма - алгебра событий.

Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий.

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств Ω. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 3 главы 1 операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Множество A, элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1) Ω $\in$ A (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если A $\in$ A, то $\neg$ A $\in$ A (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если A $\in$ A и B $\in$ A, то A $\cup$ B $\in$ A (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из свойств (A1) и (A2) следует, что пустое множество $\varnothing$ = $\neg$ Ω также содержится в A.

Из (A3) следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого n $\geqslant$ 2, для любых A₁,...,A_n $\in$ A выполнено A₁ $\cup$ ... $\cup$ A_n $\in$ A.

Вместо замкнутости относительно операции объединения можно требовать замкнутость относительно операции пересечения.

Свойство 1. Свойство (A3) в определении алгебры событий можно заменить на (A4) если A $\in$ A и B $\in$ A, то A $\cap$ B $\in$ A.

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если A,B $\in$ A, то ^$\neg$A $\in$ A, ^$\neg$B $\in$ A по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что ^$\neg$A $\cup$ ^$\neg$B $\in$ A, и, по (A2), дополнение ^$\neg$(^$\neg$A $\cup$ ^$\neg$B) $\in$ A к этому множеству также принадлежит A. В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений: A $\cap$ B=^$\neg$(^$\neg$A $\cup$ ^$\neg$B) $\in$ A.

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Сигма-алгебра событий

В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.

Множество f, элементами которого являются подмножества множества Ω (не обязательно все) называется σ-алгеброй (σ-алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

(S1) Ω $\in$ f (σ-алгебра событий содержит достоверное событие);

(S2) если A $\in$ f , то ^$\neg$A $\in$ f (вместе с любым событием σ-алгебра содержит противоположное событие);

(S3) если A_1,A₂... $\in$ f, то A₁ $\cup$ A₂ $\cup$ ... $\in$ f (вместе с любым счётным набором событий σ-алгебра содержит их объединение).

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества f относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее свойство.

Свойство 2. Свойство (S3) в определении включения можно заменить на

(S4) если A_1,A₂... $\in$ f, то A₁ $\cap$ A₂ $\cap$ ... $\in$ f .

Как показывает следующее свойство, всякая σ-алгебра автоматически является алгеброй.

Свойство 3. Если f— σ-алгебра, то она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых A $\in$ f и B $\in$ f выполняется A $\cup$ B $\in$ f.

Доказательство. Превратим пару A,B в счётную последовательность событий так: A, B, B, B, B, … , т.е. положим A₁=A, A_i=B при всех i $\geqslant$ 2. Объединение A $\cup$ B совпадает с объединением всех множеств A_i из этой бесконечной последовательности. А так как f — σ-алгебра, то A $\cup$ B= $\cup$ A_i $\in$ f.

Обратное, вообще говоря, неверно: не всякая алгебра является сигма-алгеброй. Чтобы показать это, приведём пример алгебры, не являющейся σ-алгеброй.

Борелевская σ-алгебра в .

Приведём пример σ-алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем, — σ-алгебры борелевских множеств на вещественной прямой.

Борелевской сигма-алгеброй в f_i называется самая маленькая среди всех возможных σ-алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, σ-алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, таково множество всех подмножеств f_i.

Минимальной σ-алгеброй, содержащей некоторый набор множеств f_i, называется пересечение всех σ-алгебр, содержащих U.

Ещё раз напомним, что пересекать в определении минимальной σ-алгебры есть что: хотя бы одна σ-алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдётся — это σ-алгебра всех подмножеств f_i.

Минимальная σ-алгебра, содержащая множество всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской сигма-алгеброй в $\mathbb {R}$ и обозначается Σ(f_i).

Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в Σ(f_i) по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в Σ(f_i), требуются специальные построения.

Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат Σ(f_i), и Σ(f_i) — σ-алгебра. Отсюда сразу следует, что Σ(f_i) содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счётного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.

1) В частности, f_i принадлежит Σ(f_i).

Доказательство. Это сразу следует из свойства (S1) σ-алгебры, но может быть доказано и исходя из свойств (S2), (S3). Интервал (-n,n) принадлежит U, а значит, принадлежит и Σ(f_i) при любом n $\in$ N, т.е.(-n,n) $\in$ Σ(f_i). Но Σ(f_i) — σ-алгебра, и содержит счётное объединение любых своих элементов, поэтому f_i= $\cup$ (-n,n) $\in$ Σ(f_i).

2) Далее, любой интервал вида (a,b] (или [a,b), или [a,b]), где a<b, принадлежит Σ(f_i).

Доказательство. Интервал (a,b+1/n) принадлежит Σ(f_i) при любом n $\in$ N. Тогда счётное пересечение этих интервалов (a,b]= $\cap$ (a,b+1/n).

По свойству (S4) также принадлежит Σ(f_i).

3) Любое одноточечное подмножество {b} $\in$ f_i принадлежит Σ(f_i).

Доказательство. Действительно, {b}=(a,b]\(a,b), а разность A\B=A $\cap$ ^$\neg$B двух множеств из -алгебры снова принадлежит σ-алгебре.

3. Борелевская σ-алгебра в f_iⁿ строится совершенно так же, как в f_i . Это должна быть минимальная σ-алгебра, содержащая все множества вида (a₁,b₁)x...x(a_n,b_n) — уже не интервалы, как в f_i, а прямоугольники в f_i², параллелепипеды в f_i³ и т.д. Вместе с ними Σ(f_iⁿ) содержит любые множества, являющиеся «предельными» для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в f_i² является борелевским множеством — можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.

Итак, мы определили специальный класс f подмножеств пространства элементарных исходов Ω , названный σ-алгеброй событий, причём применение счётного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из f снова дает множество из f , т.е. не выводит за рамки этого класса. Событиями будем называть только множества A $\in$ f .

Определим теперь понятие вероятности как функции, определённой на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число — вероятность этого события).

А чтобы сразу стало понятно, о чём пойдёт речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на σ-алгебре подмножеств .