Экстремальные элементы упорядоченного множества.

Пусть М – частично упорядоченное множество. Элемент хМ называется минимальным элементом этого множества, если во множестве М не существует элемента ax. Элемент yМ называется максимальным элементом этого множества, если в нем не существует элемента a>y. Минимальный и максимальный элементы в упорядоченных множествах могут существовать, а могут и не существовать (в случае бесконечных множеств), их может быть несколько.

Пример 1.

M = {1, 2 ...} = N; порядок – обычное сравнение чисел, минимальный элемент - это 1, максимальные элементы отсутствуют).

Пример 2.

M₁ = [0; 1], M₂ = (0; 1], M₃ = [0; 1), M₄ = (0; 1).

В M₁ минимальный элемент - это 0,максимальный элемент это - 1.

В M₂ минимального элемента нет, максимальный элемент - это 1.

В M₃ минимальный элемент - это 0, максимального элемента нет.

В M₄ минимальный и максимальный элементы отсутствуют (порядок – обычное сравнение чисел).

Пример 3.

Покажем, как на диаграмме выглядят минимальный и максимальный элементы в случае множества: М = {2, 3, 4, 6, 7, 12, 16, 18}, a < b Û a делит b и a ≠ b. (рис.3)

Рис. 3

Минимальные элементы – 2, 3, 7. В минимальный элемент не входит ни одна линия со стрелкой.

Максимальные элементы – 7, 12, 16 18. Из максимального элемента не выходит ни одна линия со стрелкой. Один и тот же элемент может быть одновременно и максимальным, и минимальным. В этом случае он не сравним ни с каким другим элементом данного множества.