Отношение "φ" рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено aφa (т.е. любой элемент связан отношением φ с самим собой).
Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.

Отношение φ симметрично, если из aφb следует bφa для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].

Антисимметричность нет ни одной двунаправленной дуги, нет симметричных 1ц относительно главной диагонали.

Нессиметричность что-то симметрично, что-то нет

Отношение φ называется транзитивным, если из того, что aφb и bφc следует, что aφc. В частности, отношение равенства отрезков транзитивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.

Транзитивное замыкание - если из отн φ можно построить цепочку элементов

а1,а2,а3,...,аn , причем а1φа2 и а2φа3 и ... и а(n-1)φan - транзитивное замыкание на отн φ

Наличие\отсутствие перечисленных свойств определяет отношения:

• Эквивалентности, обладает сл. 3мя свойствами: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Отношение эквивалентности разбивает множество А на не пересекающиеся классы эквивалентности, причем все элементы одного класса эквивалентны между собой и сами с собой. (пример с цветом глаз; разбито на столько классов. сколько цветов) x~y, x=y, (тройное равно)

Пример: отношение прямых на плоскости - a||a; a||bиb||a; a||bиb||c => a||c

• Порядка (не строгого\строгого)

Нестрог: рефлексивность, антисимметричность, транзитивность. <=; >=

Строг: антирефлексивность, транзитивность. <; >

Практика