Множества

Понятие множества — является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.

Пример: мн. людей, мн. корней, мн. вариантов поведения, т.е. под множеством понимаем совокупность объектов, которые хорошо различимы нашей интуицией и мыслью.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках { }.

Принято использовать следующие обозначения:

• a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;
• a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;
• ∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;
• ∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;
• ∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;
• : — «такой, что; обладающий свойством»;
• → — символ следствия, означает «влечет за собой»;
• ⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные. Множества называются конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a₁, a₂,a ₃, ..., a_n}. Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. B={b₁,b₂,b₃, ...}. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. 

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество.

Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

• Х=Х; — рефлексивность
• если Х=Y, Y=X — симметричность
• если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

X⊂Y ⇔ X⊆Y и X≠Y

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

1. X⊆Х (рефлексивность);
2. [X⊆Y и Y⊆Z] → X⊆Z (транзитивность);
3. ∅ ⊆ M Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Способы задания множеств:

1. Перечислением ​ А=[a, b, c]
2. Путем задания св-в, присущих всем элементам множеств и только им A=[x∈ M| x обладает свойством... P(x)] - предикат - функция от х, которая принимает значения только: ист\ложь

М - область множества значений х (предметная область)

​Простейший предикат: х<5=P(x); х - чётное число

Для графического изображения используется диаграмма Эйлера-Венна

Практика