стр 298
Метод множителей Лагранжа был раньше
В общем виде задача НЛП описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования:
F(x)-> max, (1)
gi (x) <_ bi, i = 1, …, m, (2)
x >_ 0. (3)
где х = (x1, х2, ..., хn) — вектор переменных задачи.
Задача (1)—(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.
Может быть сформулирована также задача НЛП на минимум.
Вектор х = (x1, х2, ..., хn), компоненты хj которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением или допустимым планом задачи НЛП.
Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.
Допустимое решение задачи НЛП, на котором целевая функция (1) достигает максимального значения, называется оптимальным решением задачи НЛП.
Возможное местонахождение максимального значения функции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяется следующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать следующим множествам:
Si = фигурная скобка (xi, …, xn): (xi, …, xn) — внутренняя точка множества допустимых планов, в которой все первые частные производные F xj ‘ (x) = 0, j = 1, …, n фигурная скобка
S2 = фигурная скобка (xi, …, xn): (xi, …, xn) — точка границы множества допустимых планов фигурная скобка;
S3 = фигурная скобка (xi, …, xn): (xi, …, xn) — точка множества допустимых планов, в которой функция F(x) недифференцируема фигурная скобка.
В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена симплекс-методом, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой-то алгоритм может оказаться чрезвычайно эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа. Эффективность алгоритма может даже существенно зависеть от постановки задачи, например от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. Программы, ориентированные на решение определенного класса задач, как правило, не гарантируют правильность решения любых задач данного класса, и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.
