https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/SeriesOfTaylorMaklorenFourier/FourierSeries/
Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.
Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида
или, более сжато
Постоянные числа a0, an, bn (n = 1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция f (x) с периодом 2 пи, так как sin nx и cos nx являются периодическими функциями с периодом 2 пи.
В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по базису, состоящему из ортогональных функций. Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Уолша, Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.
Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).
