Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель квадратной матрицы A размеров n x n, заданной над коммутативным кольцом R, является элементом кольца R, вычисляемым по формуле, приведённой ниже.
Он «определяет» свойства матрицы A. В частности, матрица A обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца R.
В случае, когда R — поле, определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы A меньше n или когда системы строк и столбцов матрицы A являются линейно зависимыми.
Определитель матрицы А обозначается как det (A), |A| или дельта (А)
Свойства
При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется
Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.
То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.
Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем
Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.
Определитель с двумя равными строками равен нулю.
Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.
Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.
Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей:
