стр 112
Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса - установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».
В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) — спрос, предложение и цена соответственно этому товару на момент времени t. Допустим, что спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть d(p)=a-bp, a, b>0 — спрос с возрастанием цены падает, а s(p)=a+bp, где a, b>0 — предложение с возрастанием цены возрастает. Природным является соотношение а> 0, то есть при нулевой цене спрос превышает предложение. Рассмотрим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара с непрерывным временем t. Если спрос и предложение являются линейными функциями цены p, то динамика цены описывается следующими уравнениями:
Равновесная цена — абсцисса точки пересечения прямых спроса и предложения, т.е. при такой цене спрос равен предложению.
Динамические межотраслевые модели В. Леонтьев разработал в начале 50-х гг. XX в. Эти модели являются классическим примером применения дифференциального исчисления в экономических иссле- дованиях, переменные моделей выступают непрерывными функция- ми времени. Такие модели В. Леонтьева отражают условия динами- ческого равновесия валового и конечного продукта в экономике стра- ны. Динамические модели описывают экономику в развитии (в отли- чие от статических моделей), они характеризуют экономику в долго- срочном периоде. В этих моделях учитываются инвестиции в произ- водственный капитал, его рост за счет капиталовложений и увеличе- ние выпуска продукции.
Открытая динамическая модель валовой продукции в матрично- векторной форме выводится подстановкой выражений из уравнений (5.1.4) и (5.1.5) в формулу (5.1.3). В результате получаем следующую систему дифференциальных уравнений: В dx(t)/dt + (А – E) x(t) + c(t) = 0, (5.1.6) где E – единичная диагональная матрица n-го порядка
http://vsh1791.ru/sbks/BKS/EMM2/05.pdf
Динамическая модель Кейнса
Модель Самуэльсона Хикса
Изучение динамических процессов связано с переходом экономической системы из одного состояния равновесия в другое. Если время перехода на новое состояние равновесия велико, то само понятие экономического равновесия теряет смысл, в этом случае надо изучать процессы непрерывного изменения экономики в динамике. Математическим инструментом для этого служит теория дифференциальных уравнений (ДУ).
- Экономика в форме динамической модели Кейнса
В модели Кейнса предполагается, что ВВП y(t+1) следующего года равен совокупному спросу текущего года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (С) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года:
y(t+1)=C[y(t)]+I(t) (2)
При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению
y(t+1)=C+с y(t)+I, (3)
где C – минимальный объем фонда потребления, не изменяющийся при росте национального дохода;
с (0<c<1) – склонность к потреблению.
Соотношение, действующее при дискретности времени в один год, при дискретности Δt, примет форму:
y(t+Δt)-y(t)=[C-(1-c)y(t)+I]Δt, (4)
где (1-с) – склонность к накоплению.
Однако для анализа динамики лучше использовать непрерывное время. В этом случае используют формальную запись модели в виде дифференциального уравнения.
Проведем анализ динамики перехода к равновесному состоянию национального дохода используя модель в форме дифференциального уравнения, используя непрерывное время.
Путем преобразования при Δt→0 приходим к уравнению:
+y= (5)
Как известно, в качестве общего решения неоднородного ДУ есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного ДУ:
yо.н.=yо.о.+yч.н. (6)
В качестве частного решения последнего уравнения возьмем так называемое равновесное (стационарное) решение
yE = . (7)
Рассмотрим однородное ДУ
+y=0. (8)
Это уравнение с разделяющимися переменными:
= - (1-c) dt. (9)
Проинтегрировав обе части уравнения, получаем:
ln|y| = -(1-c)t+lnc0, где с0>0, (10)
yо.о.=с0 e-(1-c)t (11)
yо.н.= с0 e-(1-c)t+ . (12)
Я рассмотрел использование дифференциальных уравнений в экономике. Изучив несколько моделей, а именно рост общественного благосостояния (модель Золотаса), динамику потребителей (модель Реденура). Самой широкомасштабной моделью оказалась теория фирмы. В ней я изучил, каким образом применяются дифференциальные уравнения в процессе естественного роста выпуска продукции, рекламе, динамике рыночной цены и т.д. Таким образом, дифференциальные уравнения являются одним из часто применяемых видов вычислений в деятельности человека.
