http://www.aup.ru/files/m743/m743.pdf
стр 57
В предыдущих подразделах рассматривались регрессионные мо- дели, линейные как по параметрам, так и по входным переменным. Для изучения таких моделей использовался классический аппарат математической статистики. Этот раздел эконометрики к настояще- му времени имеет наиболее завершенный вид и может быть по пра- ву отнесен к классическим результатам. В то же время следует от- метить, что линейные модели имеют ограниченную область приме- нения. В рамках линейной модели невозможно учесть эффект на- сыщения, характерный для многих социально-экономических явле- ний, эффект цикличности, отражающий повторяемость экономиче- ских процессов, и ряд других нелинейных эффектов.
Нелинейные регрессионные модели достаточно сложны и тре- буют, как правило, индивидуального подхода в каждом конкретном случае. В этом подразделе мы рассмотрим регулярные методы ана- лиза, применяемые к некоторым классам нелинейных регрессион- ных моделей, которые в результате несложных преобразований приводятся к линейным.
Наиболее общей формой нелинейных регрессионных моделей яв- ляются модели, нелинейные как по параметрам, так и по входным переменным. Сразу же отметим, что общих методов анализа таких моделей не существует. Более того, не существует даже сколько- нибудь систематической классификации моделей такого типа. Мы рассмотрим здесь некоторые примеры, которые при всем их разнооб- разии сводятся к линеаризации нелинейной регрессионной модели. Исследование динамики социально-экономических процессов выявило наличие эффекта насыщения в изменении выходных пере- менных. В разное время было предложено несколько моделей про- цессов с насыщением. Рассмотрим некоторые из них. Экспоненциальная модель вида
y = ke ^ (-β/x)
при β>0 представляет типичную кривую насыщения с асимптотой y = k и нулевым начальным значением. Логарифмируя левую и пра- вую части:
ln y = ln k –(β/x),
делая замену переменной z = 1/x, получаем
lny = lnk – βz.
Наконец, вводя обозначения
u = lny,
a0 = lnk,
– β = a1,
окончательно получаем уравнение линейной парной регрессии
u = a0 + a1z.
Так называемая логистическя кривая
y = k / (1+bc^-at)
при с > 1 и а > 0 также описывает кривую насыщения с асимптотой y = k и начальным значением k / (1+b).
К сожалению, никакими преобразованиями эта кривая не может быть приведена к модели, линейной относительно параметров.
Хорошо известна производственная функция Кобба–Дугласа
y = ak^α t^β ,
где y – объем производства; k – затраты капитала; t – затраты труда.
Показатели α, β являются коэффициентами частной эластично- сти. Логарифмируя левую и правую части:
lny = lna + αlnk + βlnt
и вводя обозначения
lny = z, lna = a0, lnk = x1, lnt = x2,
α = a1, β = a2,
получаем линейную регрессионную модель
Z = a0 + a1x1 + a2x2.
В общем случае нелинейная модель имеет вид нелинейной функции вектора параметров а и вектора переменных х
y = f(a, x).
Метод наименьших квадратов в самой общей форме приводит к необходимости минимизации функции
Q = ∑( yi – f (a, x^(i)))^2 → min,
где yi, x^(i) – i-е наблюдение.
Решение задачи отыскания локального минимума функции Q по переменным параметрам а численными методами (например, гради- ентным методом) особых проблем не представляет. Главная труд- ность состоит в том, что при сколько-нибудь сложной функции f минимизируемая функция Q оказывается многоэкстремальной. По- иск глобального минимума, который является решением исходной задачи, может оказаться весьма трудным.
