Задача Лагранжа.
Потребитель располагает доходом Q, за который он приобретает два продукта (если продуктов больше, часто выделяют один продукт, а вторым считают все остальные). Математическая модель поведения потребителя называется моделью потребительского выбора. Потребительский набор – это вектор (x1,x2), где координата xi равна количеству единиц i-го продукта (i=1,2).
На множестве потребительских наборов (x1,x2) определена функция u(x1,x2) (функция полезности потребителя), значение u(x1,x2) которой на наборе (x1,x2) равно оценке потребителем этого набора.. Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то u(А)>u(В).
Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение этих двух задач одно и то же)
u(x1,x2)→max
при условии p1x1+p2x2=Q.
Для решения этой задачи применим метод Лагранжа. Для функции Лагранжа L(x1,x2, λ)= u(x1,x2)+ λ (p1x1+p2x2-Q), получаем систему уравнений:
L апостроф, от x1= uапостроф 1+λ p1=0,
L апостроф, от x2= uапостроф 2 +λ p2 =0,
L апостроф, от λ =p1x1+p2x2-Q =0.
Решение (x1 в степени 0, x2 в степени 0) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа.
Геометрически решение (x1 в степени 0, x2 в степени 0) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x1,x2) с бюджетной прямой p1x1+p2x2=Q. Это определяется тем, что отношение х апостр 2 / x апостр 1 = - u апостр 1 / u апостр 2 равно тангенсу угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение - p1 / p2 представляет собой тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, то в этой точке происходит касание данных двух линий.
Условие равенства относительных цен предельной норме замещения.
Вспомним теперь, что наклон кривой безразличия в данной точке равен предельной норме замены MRS, а наклон бюджетной линии - соотношению цен товаров PX/PY. Следовательно, в точке потребительского оптимума Е
MRS = PX/PY
Это свойство оптимального набора может быть легко объяснено логически. В самом деле, предельная норма замены MRS отражает то соотношение, в котором потребитель желает обменивать товар Y на товар X, точнее говоря, MRS показывает, какое количество единиц товара У потребитель согласен отдать, чтобы получить одну дополнительную единицу товара X. С другой стороны, соотношение цен PX/PY характеризует пропорцию, в которой потребитель в действительности может обменивать товар Y на товар X, т. е. показывает, сколькими единицами товара Y должен пожертвовать потребитель, чтобы приобрести на рынке одну дополнительную единицу товара X.
Равновесное положение потребителя достигается в точке В, в которой бюджетная линия касается кривой безразличия. В точке потребительского оптимума совпадают углы наклона бюджетной линии (Px/Py) и кривой безразличия (MRS). Предельная норма замещения MRS показывает, в каком соотношении потребитель желает обменивать блага X и У. Соотношение Px/Py демонстрирует, в какой пропорции потребитель действительно может обменивать эти блага, т. е. от приобретения какого-то количества товара X следует ему воздержаться, чтобы получить средства, необходимые для покупки единицы товара Y. Интерпретация предельной нормы замещения как соотношения предельных полезностей позволяет выразить условие равновесия потребителя в следующей форме:
Из уравнения видно, что потребитель максимизирует свою полезность, если покупает товары Х и Y таким образом, что их предельные полезности в расчете на денежную единицу равны. Таким образом, в точке В достигается наилучшая, или оптимальная, из доступных потребителю комбинация продуктов Х и Y.
Точка D, расположенная на наиболее высокой кривой безразличия U4 и соответствующая большей сумме полезности, чем точка В, не будет являться точкой оптимума, так как находится выше бюджетной линии и недоступна для данного потребителя.
Внутреннее и угловое решение.
Задача потребительского выбора может также иметь угловое решение. Оно характерно для случая, когда у потребителя имеются четко выраженные предпочтения относительно одного из товаров в наборе. Задача потребительского выбора будет иметь угловое решение, когда на всем протяжении кривой безразличия больше или меньше угла наклона бюджетной линии (см. рис. 5).
Очевидно, что в случае достижения углового равновесия (точка А) потребитель отказывается от потребления какого-либо из товаров (товара В на рис. 5а и товара А на рис. 5б).
Предположим, что в точке оптимума потребление какого-либо товара равно нулю, как на рис.5.3. Тогда наклоны кривой безразличия и бюджетной линии различны, однако кривая безразличия по-прежнему не пересекает бюджетной линии. Мы говорим, что на рис.5.3 представлен краевой оптимум, в то время как на рис.5.1 — внутренний оптимум.
Если исключить из рассмотрения "ломаные предпочтения", о примере, приведенном на рис.5.2, можно забыть. Если же мы хотим ограничиться рассмотрением лишь внутренних оптимумов, можно не рассматривать и второй пример. В случае внутреннего оптимума с плавно убывающими кривыми безразличия наклон кривой безразличия и наклон бюджетной линии должны быть одинаковы...потому что если бы они различались, кривая безразличия пересекла бы бюджетную линию, и мы не могли бы находиться в оптимальной точке.
Рис. 5.3 Краевой оптимум. Оптимальное потребление предполагает нулевое потребление товара 2. Бюджетная линия не является касательной к кривой безразличия.
Рис. 5.1. Оптимальный выбор. Оптимальное потребление приходится на точку, в которой кривая безразличия касается бюджетной линии.
Оптимальный выбор для основных типов предпочтений (субституты, комплементы, квазилинейные предпочтения, функция полезности типа Кобба-Дугласа).
Совершенные субституты
Случай совершенных субститутов проиллюстрирован на рис. 5.5. Перед нами три возможных случая этого рода. Если p2 > p1, то наклон бюджетной линии менее крутой, чем наклон кривых безразличия. В этом случае оптимальный набор находится в точке, где потребитель тратит все свои деньги на товар 1. Если p1 > p2, потребитель покупает только товар 2. И, наконец, если p1 = p2, существует целый ряд точек оптимального выбора — в этом случае оптимальным будет любое количество товаров 1 и 2, которое удовлетворяет заданному бюджетному ограничению. Согласуются ли эти результаты со здравым смыслом? Они говорят лишь о том, что в случае совершенных субститутов потребитель купит тот из двух товаров, который дешевле. Если же цена обоих товаров одинакова, то потребителю все равно, какой из двух товаров купить.
Рис. 5.5 Оптимальный выбор в случае совершенных субститутов. Если товары являются совершенными субститутами, оптимальный выбор всегда будет краевым.
Совершенные комплементы
Случай совершенных комплементов иллюстрирует рис. 5.6. Обратите внимание на то, что точка оптимального выбора в данном случае всегда находится на луче под 45° (из начала координат, на котором потребитель покупает равные количества обоих товаров, независимо от уровня цен. Применительно к нашему примеру это означает, что люди, у которых две ноги, покупают обувь парами Функция спроса, отражающая оптимальный выбор, в данном случае получена совершенно интуитивно. Поскольку два товара всегда потребляются вместе, потребитель как бы тратит все деньги на один товар, цена которого равна p1 + p2.
Рис. 5.6 Оптимальный выбор в случае совершенных комплементов. Если товары — совершенные комплементы, количества спроса всегда лежат на луче под 45° из начала координат, поскольку оптимальный выбор имеет место там, где х1 равен х2.
Фугкция полезности Кобба-Дугласа
Рассмотрим простую задачу потребительского выбора с двумя благами. Пусть функция полезности имеет форму: U(X1, Х2) = Х1 • Х2. Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность равна нулю, если одно из них отсутствует), требования неотрицательности переменных будут выполнены автоматически. Записав необходимые условия оптимума (согласно которым отношения предельных полезностей благ должны равняться отношениям их цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений:
Х2 / X1 = Р1 / P2
P1 • X1 + P2 • X2 = I
Отсюда количества денег, затрачиваемых на оба блага, должны быть одинаковыми, то есть Х2Р2 = Х1Р1, и функции спроса приобретают вид:
X1 = I / 2P1; X2 = I / 2P2
Расходы на каждое благо составляют половину дохода потребителя, выделенного на их приобретение. Вид функций спроса и соотношение, в котором потребитель делит свои средства на покупку двух товаров, не случайны: они определяются видом и параметрами функции полезности. Для более общего случая, когда функция полезности является функцией Кобба-Дугласа U = АХ1a,Х2a ,
Как мы видим, и объем спроса на благо каждого вида, и доля расходов на него в общей сумме денег, выделенных для покупок, зависят от соотношения степенных коэффициентов в функции полезности. Это соотношение характеризует относительную важность, значимость данного вида благ по сравнению с другим видом, то есть прямо выражает предпочтения данного потребителя. В приведенном выше примере α = β = 1, что означает: для данного потребителя данные виды благ одинаково значимы, поэтому он и делит свой доход, предназначенный для их приобретения, пополам.
Помимо этого, объем спроса на каждый вид благ прямо пропорционален доходу (следовательно, оба блага являются нормальными (полноценными) - при росте дохода спрос на них растет), а также обратно пропорционален цене данного вида благ и не зависит от цены другого вида - значит, данные товары не зависят друг от друга в потреблении данного экономического субъекта (их перекрестные эластичности равны 0).
Квазилинейные предпочтения - это такой случай, когда все кривые безразличия являются "сдвигами" одной и той же кривой безразличия.
Отношение предпочтения называется квазилинейным на X по K-му благу, если
• для каждого положительного t из x ∈X следует x + teK∈X;
• для каждого положительного t и x,y∈ X из x~y следует x + teK~ y + te
Если предпочтения потребителей квазилинейны, то функция спроса, соответствующая этим предпочтениям характеризуется отсутствием эффекта дохода. Если к тому же предпочтения и технологии сепарабельны, то рынки оказываются полностью независимыми и при изменениях на одном из них состояния прочих рынков остаются неизменными. Квазилинейная функция полезности:
Предположим, что предпочтения i-го потребителя описываются функцией полезности сле-дующего вида: Ui(xi1, • • •, Xii, Zi) = Vi(xi1, • • •, Xii) + Zi . Эту функцию полезности принято называть квазилинейной. Последнее благо будем интерпретировать как деньги . В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что величина Zi может принимать и отрицательные значения2. Будем предполагать, что множество физически допустимых потребительских наборов потребителя i задано ограничениями ^ 0.
Кривая "доход - потребление" и кривая Энгеля для случая квазилинейного предпочтения; их экономический смысл:
Кривая «доход-потребление» для нормальных (полноценных), некачественных (неполноценных) и для нейтральных (независимых) благ имеет различный наклон:
v Кривая «доход-потребление» для нормальных (полноценных) благ имеет положительный наклон (рис. 9.1), поскольку с увеличением дохода увеличивается их потребление.
На рис. 9.1 показано, что сначала потребитель находится в равновесии при наборе, соответствующем точке Е1; где потребляется QХ1 единиц товара X. Увеличение дохода от I1до I2 смещает бюджетную линию дальше от начала координат, но параллельно ей самой. Если бы потребитель не приобретал благо X, то доход l1 был бы полностью в распоряжении для покупок других благ. Если бы потребитель вновь не приобретал благо X, то возросший доход I2 позволил бы приобрести другие блага. На рис. 9.1 денежный доход потребителя представлен пересечением бюджетной линии потребителя с вертикальной осью.
Увеличение доходов дает возможность приобретать такие блага, которые потребитель прежде не мог приобрести. Это вызывает перемещение равновесия к новой точке – Е2. Еженедельное потребление блага X – QХ2 увеличилось в ответ на увеличение доходов.
Рис. 9.1. Кривая «доход-потребление» качественного товара
Таким образом, кривая «доход-потребление» иллюстрирует, как объем блага X, потребляемого в неделю, изменяется в зависимости от изменения дохода.
Кривая «доход-потребление» изображает, как потребление блага X изменяется с увеличением дохода и то, что потребление нормального (полноценного) блага неизменно растет.
v Кривая «доход-потребление» для некачественных (неполноценных) благ имеет отрицательный наклон (рис. 9.2).
При рассмотрении потребителем некачественного блага кривая «доход-потребление» поворачивает к вертикальной оси координат. После достижения определенного уровня дохода дальнейшее его увеличение приводит к сокращению потребления блага. При достижении этого уровня дохода кривая «доход-потребление» принимает отрицательный наклон. Так, при увеличении доходов выше уровня I2 наступает сокращение потребления блага X. При увеличении доходов выше определенного уровня потребители будут отказываться от потребления некачественных благ.
Рис. 9.2. Кривая «доход-потребление» некачественного товара
Заметим, что оценка блага как качественного или некачественного зависит от вкуса потребителя. В частности, указывается, что на юге Италии многие богатые люди все еще едят требуху.
v Кривая «доход-потребление» для нейтральных (независимых) благ имеет вертикальный наклон (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Кривая «доход-потребление» на нейтральные товары
Нейтральные, или независимые, блага – это блага, которые не являются ни нормальными, ни некачественными для потребителя. Это блага, потребление которых остается неизменным при всех уровнях дохода. К этой группе благ относят, например, соль, туалетную бумагу, зубную пасту и т. п., расходы на которые занимают относительно незначительную часть бюджета. Это блага первой необходимости.
