.
Составим структурную каноническую схему дискретной цепи с заданной передаточной функцией (рис. 19.42). Коэффициенты усиления известны: a0 = 1; a1 = –1; a2 = 1; b1 = 0,5; b2 = –0,5.
Найдем выходной сигнал y(k) цепи, используя уравнение (19.37) или непосредственно по схеме:
Рассчитаем отсчеты y(k):
;
;
Аналогичным образом рассчитываем y(3) = –1,125, y(4) = 1,3125 и т. д.
Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретная цепь считается неустойчивой, если ограниченное по амплитуде входное воздействие вызывает на ее выходе бесконечно нарастающий отклик. Наоборот, дискретная цепь устойчива, когда отклик на ограниченное воздействие также ограничен.
Известно, что у устойчивой аналоговой цепи полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости переменной p. При переходе от аналоговой цепи к дискретной и замене преобразования Лапласа z-преобразованием точки левой полуплоскости p-плоскости переходят в точки, лежащие внутри единичной окружности z-плоскости (рис. 19.16). Таким образом, полюсы передаточной функции устойчивой дискретной цепи располагаются внутри единичной окружностиz-плоскости.
Нерекурсивные цепи всегда устойчивы.
Пример. Определим устойчивость цепей, имеющих передаточные функции:
а) 
,
б) 
,
в) 
,
г) 
.
Полюс передаточной функции
найдем, приравняв знаменатель H1(z) к нулю, 1 – 0,3z–1 = 0.
Получаем полюс 
= 0,3, который находится внутри единичной окружности z-плоскости. Это означает, что цепь устойчива.
Передаточная функция
имеет полюс в точке 
= 2; такая цепь неустойчива.
Полюсы передаточной функции
являются комплексно-сопряженными 
и 
. Поскольку эти полюсы лежат внутри единичной окружности (их модули 
), то данная дискретная цепь устойчива.
Примером неустойчивой цепи служит цепь с передаточной функцией
,
у которой 
и 
и 
.
Частотные характеристики. Для перехода от передаточной функции H(z) к частотной характеристике H(jf) необходимо произвести замену
.
Обычно вводят в рассмотрение нормированную частоту W = fT = = f/fд. С учетом этого формула (19.40) примет вид:
(19.47)
Из (19.47) легко получить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики дискретной цепи. В частности, амплитудно-частотная характеристика будет представлена выражением
(19.48)
Пример. Дискретная цепь 3-го порядка описывается передаточной функцией
с полюсами 
и 
. Расположение полюсов в плоскости z показано на рис. 19.43, а. Здесь же приведена структурная схема дискретной цепи (рис. 19.43, б). Определить АЧХ цепи.
Подставим в (19.49)
(19.48)
На рис. 19.44 изображен график АЧХ H(W) цепи. Из рисунка видно, что АЧХ с передаточной функцией (19.49) соответствует ФНЧ Баттерворта. Как и следовало ожидать, амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи является периодической функцией (так как H(jW) есть преобразование Фурье от дискретной импульсной реакции). Ее период равен fд = 1/T или W = fд×T = 1. Поэтому она используется в диапазоне частот от 0 до 0,5fд (или до W = 0,5). Цепь устойчива.
Пример. Найдем частотную характеристику дискретной цепи с импульсной характеристикой h
