В соответствии с алгоритмом (19.35) и с учетом заданных значений характеристики h(k) структурная схема цепи приведена на рис. 19.32. По этой схеме несложно определить выражение для выходной последовательности y(k) =–x(k) + x(k – 1) + 2x(k – 2).
Как следует из рис. 19.30 и рис. 19.31 общим свойством элементов дискретных цепей является их однонаправленное действие, показанное на рисунках стрелками. С точки зрения топологии, элементы дискретных цепей представляют собой двухполюсные (элемент задержки, умножитель) или многополюсные элементы (сумматор).
Общее уравнение дискретных цепей. Из уравнения (19.35), рассмотренных примеров и рис. 19.32 отклик дискретной цепи y(k) на воздействие х(k) можно записать в виде следующего уравнения
(19.37)
где a0, a1, a2, ..., aN – некоторые числа (веса) представляющие собой по сути отсчеты импульсной характеристики цепи.
Уравнению (19.37) соответствует дискретная цепь, изображенная на рис. 19.33. В литературе эту цепь называют иногда трансверсальным фильтром.
Как следует из (19.37) для получения k-го отсчета выходного сигнала подвергаются обработке (k –N) отсчетов входного сигнала с соответствующими весовыми коэффициентами.
Следует однако отметить, что уравнением (19.37) не исчерпываются все возможные алгоритмы работы дискретных цепей. В частности, этот алгоритм может включать обработку не только отсчетов входного, но и отсчетов выходного сигнала, сдвинутого на определенное число тактов. Поэтому наиболее общее уравнение дискретной цепи имеет следующий вид
(19.38)
где bl – весовые коэффициенты.
На рис. 19.34 изображена схема дискретной цепи, соответствующей алгоритму (19.38).
Принципиальным отличием схемы, изображенной на рис. 19.34 от схемы на рис. 19.33 является наличие цепи обратной связи, поэтому схемы, описываемые уравнением (19.38), получили название рекурсивных, а цепи, описываемые (19.37), – нерекурсивных.
Для нахождения реакции дискретной цепи необходимо решить разностные уравнения (19.37) и (19.38). Если решение (19.37) обычно не представляет особого труда, то для решения (19.38) необходимо использовать специальные методы. По аналогии с решением дифференциальных уравнений, описывающих аналоговую цепь, решение разностных уравнений можно осуществить как классическим, так и операторным методом. Обычно для решения разностных уравнений в теории дискретных цепей используется операторный метод, причем вместо преобразования Лапласа используют z-преобразование.
Передаточные функции. При анализе и синтезе дискретных систем важнейшую роль играютпередаточные или системные функции цепей.
Применим к уравнению (19.38) прямое z-преобразование и учтя основные свойства z-преобразования (см. 19.3. Z-преобразование и его свойства), получим
Отсюда следует
(19.39)
Определим передаточную функцию дискретной цепи как отношение z-преобразований выходного ко входному дискретному сигналу:
(19.40)
Из (19.40) следует, что коэффициенты ak числителя определяют нерекурсивную часть дискретной цепи, а коэффициенты bl знаменателя – рекурсивную часть.
Для нерекурсивной цепи (M = 0) передаточная функция определится как
(19.41)
Передаточную функцию (19.41) можно определить как z-преобразование от импульсной характеристики цепи:
(19.42)
Сравнение (19.41) и (19.42) показывает, что роль коэффициентов ak играют отсчеты импульсной характеристики h(k). Нетрудно также видеть, что импульсная характеристика нерекурсивной цепи согласно (19.37) является конечной, а рекурсивной согласно (19.38) бесконечной, поэтому иногда нерекурсивные дискретные цепи называют цепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ), а рекурсивные – с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Пример. Положим, что передаточная функция дискретной цепи имеет вид
При a = 1; b = 0 получаем идеальный интегратор с импульсной характеристикой h
