1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

.

Общий член этой последовательности x(k) = 0,5k, k  0.

Пример. Найдем отсчеты дискретного сигнала по его z-преобразованию

.

Для разложения функции X(z) в степенной ряд по степеням z–1 выполним деление числа 5 на многочлен . В результате получим частное . Отсчеты дискретного сигнала равны

и т. д.

Процедура деления здесь не приведена из-за ее громоздкости, хотя выражения полиномов, стоящих в числителе и знаменателе X(z), не слишком сложные.

Более эффективным способом нахождения x(k) по известному X(z) является способ подобный методу разложения на простейшие дроби в преобразованиях Лапласа.

Пример. Найдем общий член xk дискретного сигнала x(k), которому соответствует z-изображение, заданное в предыдущем примере

.

Функция X(z) имеет полюсы в точках z1 = 1/2 и z2 = –1/3, или, что то же, в точках z1–1 = 2 и z2–1 = –3.

Разложим X(z) на сумму простых дробей:

.

Коэффициенты в числителях каждой дроби вычисляются так же, как при разложении входного сопротивления z(p) реактивных двухполюсников при синтезе их по схеме Фостера:

Подобно тому, как формула (19.33) представляет сумму ряда (19.32), простые дроби в (19.16) являются суммами рядов

 и .

Поскольку z-преобразование – это линейная операция, то последовательность x(k) состоит из суммы двух последовательностей:

.

После выполнения операции возведения в степень k получим отсчеты дискретного сигнала

и т. д.

Свойства z-преобразования. Так же как и для преобразований Лапласа и Фурье, существуют теоремы для z-преобразования. Приведем наиболее важные теоремы одностороннего z-преобра­зования.

Теорема линейности (суперпозиции). Сумме дискретных сигналов соответствует сумма их z-изобра­жений. Если дискретным сигналам x(k) и y(k) соответствуют z-изоб­­­ра­жения X(z) и Y(z), то

,

где a и b – некоторые числа.

Доказательство теоремы выполните самостоятельно, используя выражение (19.28) для расчета z-изображения дискретного сигнала.

Теорема опережающего сдвига. Если дискретному сигналу x(k) соответствует одностороннее z-преобразование X(z), то сигналу, сдвинутому на один интервал дискретизации, x(k + 1) соответствует z-преоб­ра­­зование z(X(z) – x(0)).
Математическая запись теоремы имеет вид

,

Чтобы доказать теорему, воспользуемся основным выражением (19.28) для расчета z-преобразования дискретных сигналов x(k) и x(k + 1), а также графиками, приведенными на рис. 19.19.

;

.

Сравнивая X(z) и X¢(z), получаем X¢(z) = z(X(z) –x(0)), что и требовалось доказать.

Очевидно, что теорема опережающего сдвига выполняет ту же самую роль, что и теорема дифференцирования для преобразований Лапласа.

Теорема задержки. Математическая запись теоремы имеет вид

.

В теореме задержки u(k) – это дискретные отсчеты функции единичного скачка (рис. 19.20)

а u(k – N) – это дискретные отсчет функции u(k), задержанной на N интервалов дискретизации (рис. 19.25).

Доказательство вытекает из основного выражения (19.28) для z-преобразования.

При доказательстве учтено, что единичная ступенчатая функция обращается в нуль при отрицательных значениях ее аргумента, т. е. при n < N. Из теоремы задержки в частности следует, что сдвиг дискретного сигнала на один интервал дискретизации T соответствует умножению z-преобразования на оператор z–1, поэтому часто z–1 называют оператором единичной задержки вz-области.

Теорема умножения на ak. Математическая запись теоремы имеет вид

.

Теорема умножения на n.

.

Теоремы умножения дискретного сигнала x(k) на ak и на k можно также доказать, используя формулу (19.28). Предлагаем проделать это самостоятельно.

Теорема свертки. Свертке дискретных сигналов x(k) и h(k) соответствует произведение их z-преобразований

.

Эту теорему мы приводим здесь без доказательства. При необходимости с ним можно познакомиться в специальной литературе.

Пример. Найдем z-преобразование функции единичного отсчета, задержанной на N интервалов дискретизации.

Найдем z-преобразование дискретного d-импульса d(k) (рис. 19.4), используя выражение (19.28)

.

Используя теорему задержки, найдем z-изображение сигнала d(k – N)

.

На рисунке 19.4 приведен также график задержанной функции единичного отсчета для частного случая N = 2.

Пример. Найдем z-преобразование функции

.

В одном из примеров мы уже находили, что z-преобразование сигнала ak имеет вид (19.33) X(z) = 1/(1 – az–1).

Используя теорему задержки, получаем

.

При a = 1 имеем:

.

Графики дискретных сигналов u(k – N) и ak–Nu(k – N) приведены на рис. 19.21 и 19.22.

Пример. Найдем z-преобразование дискретной последовательности x(k) = = kak, k  0.

Поскольку z-изображение последовательности ak известно (19.15), то, используя теорему умножения на k, получим

.

Пример. Найдем z-преобразование дискретной последовательности из N отсчетов единичной амплитуды (рис. 19.23)

Сигнал x(k) можно представить как разность двух сигналов

.

Из теорем линейности и задержки легко получить z-преобра­зование

,

что совпадает с формулой для частичной суммы геометрической прогрессии

.

Табл. 19.1 – Краткая таблица односторонних z-преобразований

Дискретный сигнал  x(k), k 0	z-преобразование

Пример. Вычислим z-преобразование свертки дискретных сигналов x