2.3. Спектры непериодических сигналов
|
|
Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t1t2. Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t1t2, далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:
Полученный ряд на участке t1t2 будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t1t2, то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим
где
- спектральная плотность сигнала s(t).
Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.
Если 
, то 
- модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.
- фазово-частотная характеристика.
Необходимое условие существования спектральной плотности 
Пример. Спектр прямоугольного сигнала
|
|
Согласно формуле Эйлера 
|
|
|
- площадь под импульсом.
Свойства преобразования Фурье
а) Сдвиг сигнала во времени s2(t)=s1(t-t0).
Сдвиг во времени функции s(t) на ±t0 приводит к сдвигу фазы спектра на ±wt0. Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.
б) Сжатие и расширение сигнала s2(t)=s1(nt).
При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что 
где 
.
В реальности это проявление принципа неопределенности: 
При 
при несреднеквадратичном определении 
и 
.
в) Дифференцирование и интегрирование сигнала
Аналогично спектральная плотность интегра ла 
равна 
г) Сложение сигналов (линейность преобразования)
- из-за линейности операции интегрирования.
д) Спектр произведения двух функций 
Изменяем порядок интегрирования:
Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем 
).
Аналогично можно показать, что свертке двух функций 
соответствует спектр
являющийся произведением исходных спектров.
е) Взаимная обратимость s(t) и 
.
; 
Для четного сигнала s(t)=s(-t), и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для 
можно поменять знак в экспоненте 
Тогда, если по функциональной зависимости 
то 
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Найдем спектр квадрата функции s(t).
- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.
В частном случае ( 
) будем иметь:
. Переходя от 
к 
и т. к. 
, комплексное сопряженние 
.
- равенство Парсеваля.
- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот).Е - полная энергия сигнала.
Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:
- при симметричной 
Примеры. Спектр Гауссова (колокольного) импульса
|
|
, -¥ < t < ¥, а - условная половина длительности на уровне 0,606.
.
Произведем преобразование в показателях степени:
где d - определяется из условия:
откуда 
.
При d - конечном 
т. к. 
.
Тогда 
т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: 
.
Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим 
при среднеквадратичном их определении.
Спектр d-функции
|
|
|
.
В качестве d-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.
Свойства d-функции
1) 
- фильтрующее свойство.
2) Четность 
3) Нормировка 
Спектральная плотность
.
При t0 = 0, 
,
при t0 ¹ 0, 
.
|
|
- это спектральное определение d-функции.
Аналогично 
- определение d-функции в частотной области.
Спектральная плотность гармонического колебания
|
|
Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость Применениеd-функции позволяет получить спектральную плотность и для неинтегрируемых функций. |
Пусть 
Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем.
Произведем замену 
.
Но 
тогда
.
Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w0.
В частности, для постоянного напряжения w0 = 0, 
