Операторный метод берет начало со времени анализа бесконечно малых величин, когда были обнаружены определенные аналогии между дифференциально-интегральными и алгебраическими уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по операционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XX в. на базе общей теории функциональных преобразований.
В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:
При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.
Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласаопределяется уравнением.
где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t 
0 (при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:
где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).
Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):
Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику
где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия 
.
Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.
Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме
где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).
Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0–)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию
Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде
Отсюда после интегрирования по частям получаем:
В случае нулевых начальных условий
Интегрирование оригинала
Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).
Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)
где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t = atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).
Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):
Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:
Осуществим замену переменной t = t ± t0.
что и требовалось доказать.
Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на 
.
Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):
Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместоf(t) подставить 
. Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.
Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):
Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.
Произведение изображений:
Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).
Дифференцирование изображения:
Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).
Интегрирование изображения:
Данное свойство доказывается аналогично (7.15).
В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:
Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:
Учитывая, что 
, получаем:
Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).
В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).
Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)
Изображение функции (7.19) будет равно:
Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением
Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:
Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):
Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:
Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим
Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 
Экспоненциальный сигнал 
при t > 0:
т. е.
Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 приведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречающихся в теории электрических цепей функций
