Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1).
Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL(0–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК:
(6.11)
Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме
(6.12)
где iсв — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); inp — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).
Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального уравнения
(6.13)
и согласно (6.7)
(6.14)
где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6);
(6.15)
Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи 
= L/R.
Принужденная составляющая iпp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, iпp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:
В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима:iпp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / + U/Rи учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1):
Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением
(6.16)
Напряжение на индуктивности согласно (1.9)
(6.17)
На рис. 6.2 изображены графики зависимости i(t) и uL(t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3...5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к uL (рис. 6.2), в указанный момент напряжение на uL уменьшается в е раз по сравнению с начальным.
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = 
как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).
Для второго случая принужденная составляющая тока 
где 
, 
= arctg(
L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения
Откуда 
. Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет
(6.18)
На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности
(6.19)
где UmL = LIm.
Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда u = ± 
/2 в последней могут возникать сверхтоки. Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать imax 
2Im. Напротив, при включении цепи в момент, когда u = , в ней сразу наступает установившийся режим. Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).
В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4). К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равнаяWL = Li2(0– )/2, где i(0– ) = U/(R0 + R). После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением:
(6.20)
т. е. iпp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15):
Постоянную А находим из начального условия i(0– ) и закона коммутации (6.1):
 |
 |
 |
 |
Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описывается уравнением
(6.21)
Напряжение uL определяется как
(6.22)
На рис. 6.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени, расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных условиях L ведет себя как источник тока.
