Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.
– предел функции при , равный b.
Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .
Примеры:
y = f(x) =
y = f(x) = x2
Пример:
y =, когда ,
Неопределенности:
Раскрытие неопределенностей.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.
Доказательство:
Пусть , тогда , отсюда получаем . Обратное неверно.
Контрольный пример:
в окрестности точки 0.
– не существует.
(Бесконечно малой величиной} при называется функция, предел которой в точке a равен 0.
– бесконечно малая величина (б.м.в.).
- – бесконечно малая величина при
- – бесконечно малая величина при s
{Бесконечно большой величиной} при называется функция неограниченно возрастающая.
– бесконечно большая величина (б.б.в.)
Любая бесконечно большая величина неограниченна.
Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.
Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .
Доказательство:
Допустим, что , тогда .
, значит , – бесконечно малая величина.
Пример:
f(x) = x2 + 1
Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.
Если – бесконечно малая величина при – бесконечно большая величина.
Если – бесконечно большая величина при – бесконечно малая величина.
Доказательство:
Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что . Значит
Следствие: и
{Свойства бесконечно малых величин:}
1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:
Доказательство:
или , значит – бесконечно малая величина.
2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.
Доказательство:
, значит – бесконечно малая величина.
3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .
{Теоремы о пределах.}
Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
;
Получаем:
Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .
Доказательство:
Следовательно,
Следствие:
Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:
Теорема 6. Критерий Коши.
Если , тогда и только тогда .
{Приемы раскрытия неопределенностей.}
1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).
Пример:
2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).
Пример:
3) Выделение главной части (для неопределенности ).
Примеры:
;
Теорема. Первый замечательный предел .
Доказательство (геометрическое):
Так как , то .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)
5)
{Теорема. Второй замечательный предел .}
Доказательство:
Бином Ньютона:
, где .
Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:
Отсюда заключаем, что , а значит .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)
Доказательство:
Если принять, что , то
Примеры:
1)
Учитывая, что .
2)
. Отсюда A = e.
Учитывая, что .
{Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.):}
Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .
Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.
Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .
– более высокого порядка, чем ("о" – читается как "о малое").
– более низкого порядка, чем ("О" – читается как "О большое").
Определение 3. Если , то и эквивалентны – .
Следствие из определения 3: при .
Теорема. Если и эквивалентны () , то и .
Доказательство:
Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().
Тогда .