Метод уравнений Кирхгофа

Уравнения Кирхгофа являются основными соотношениями, на которых базируются расчеты сложных электрических цепей.

Пусть имеется разветвленная сеть проводов, на различных участках которой находятся генераторы постоянного напряжения и резисторы с известными ЭДС Ek  и сопротивлениями Rk (k= 1, 2, 3,…).Такая сеть называется цепью постоянного тока (рис. 1). Ставится задача: рассчитать токи на каждом участке этой цепи*. Такую задачу можно решить с помощью двух правил (уравнений) Кирхгофа.

Первое правило относится к узлам цепи и утверждает следующее: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

                                                (1)

При этом токам, «входящим в узел», условно приписывается знак «+», а «выходящим» − знак «−». Это правило означает то, что заряды в узле не накапливаются: «сколько входит, столько и выходит»; оно следует из закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в цепи контуру и утверждает следующее: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах произвольного контура (кроме генераторов) равна алгебраическойсумме ЭДС генераторов, встречающихся в этом контуре, т. е.

                                                                   (2)

Напряжение иk= ikRk на элементе Rk считается положительным, если выбранное направление обхода данного контура совпадает с выбранной стрелкой тока через данный элемент; ЭДС Ek считается положительной, если выбранное направление обхода контура совпадает со стрелкой ЭДС данного генератора. Это правило следует из основного свойства электростатического поля: циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Правила Кирхгофа (1) и (2) позволяют написать полную систему линейных алгебраических уравнений, из которой можно однозначно определить токи на всех участках цепи. Практически последовательность составления таких уравнений следующая.

1. На всех участках цепи указать стрелками «направления» токов (стрелки токов наносятся прямо на линию провода). Вообще говоря, стрелки токов можно наносить как попало, их нет нужды угадывать. А вот знаки слагаемых в уравнениях Кирхгофа пишутся уже строго под выбранные стрелки. И если в результате вычислений окажется, что какой-либо ток ik< 0, то он и будет отрицательным по отношению к данной стрелке.

Замечание. Ток – это не вектор, а алгебраический скаляр. Стрелка же тока указывает лишь условно положительное направление его вычисления.

2. Выбрав контур, обходить его в определенном направлении, например, по часовой стрелке. Если очередная стрелка тока ik при обходе совпадает с этим направлением, то соответствующее слагаемое в левой сумме (2) пишется со знаком «+», т. е. «+ikRk», а иначе – «−ikRk». Аналогичное правило знаков применяется и для стрелок ЭДС Ekв правой части (2).

3. Если цепь содержит N узлов, то независимых уравнений типа (1) будет (N−1). Уравнения типа (2) должны учитывать все независимые контуры цепи, т. е. такие, которые нельзя образовать наложением друг на друга контуров, уже вошедших в уравнения (2). В качестве независимых удобно выбирать «простые» контуры, т. е. не содержащие в себе других контуров.
Источник: http://elekt.com.ua/toe/linear-electric-dc/metod-kyrhgofa.html