Фишер

Итак, целью анализа является получение некоторой оценки, с помощью которой можно было бы утверждать, что при некотором уровне α полученное уравнение регрессии - статистически надежно. Для этого используется коэффициент детерминации R2. 
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. 
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой. 
 
где m – число факторов в модели. 
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму: 
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α. 
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия: 
 
 
где m=1 для парной регрессии. 
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2 (или через функцию Excel FРАСПОБР(вероятность;1;n-2)). 
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01. 
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. 
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом. 
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=48, Fтабл = 4

Выводы: Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

...............................................................

Приведены данные по двум независимым выборкам (табл. 5.2) степени водопоглощения зерна пшеницы Было проведено исследование воздействия магнитными полями низкой частоты.

Таблица 5.2

Результаты исследований

Прежде, чем мы будем проверять гипотезу о равенстве средних этих выборок, необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы знать какой из критериев выбрать для ее проверки.

На рис. 5.1 приведен пример проверки гипотезы о принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности по критерию Фишера используя программный продукт Microsoft Excel.

Рисунок 5.1 Пример проверки принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности по критерию Фишера

Исходные данные размещены в ячейках, находящихся на пересечении столбцов С и D со строками 3-10. Выполним следующие действия.

1. Определим, можно ли считать закон распределения первой и второй выборок нормальным (столбцы С и D соответственно). Если нет (хотя бы для одной выборки), то необходимо использовать непараметрический критерий, если да – продолжаем.

2. Рассчитаем дисперсии для первого и вто­рого столбца. Для этого в ячейках СП и D11 поместим функции =ДИСП(СЗ:С10) и =ДИСП(DЗ:D10) соответственно. Результатом работы этих функций является рассчитанное значение дисперсии для каждого столбца соответственно.

3. Находим расчетное значение для критерия Фишера. Для этого нужно большую дисперсию разделить на меньшую. В ячейку F13 помещаем формулу =C11/D11, которая и выполняет эту операцию.

4. Определяем, можно ли принять гипотезу о равенстве дисперсий. Существует два способа, которые представлены в примере. По пер­вому способу, задавшись уровнем значимос­ти, например 0,05, вычисляют критическое значение распределения Фишера для этого значения и соответствующего числа степеней свободы. В ячейку F14 вводится функция =FPACПOBP(0,05;7;7) (где 0,05 - заданный уровень значимости; 7 — число степеней свободы числителя, а 7 (второе) — число степеней свободы знаменателя). Число степеней свободы равно числу экспериментов минус единица. Результат — 3,787051. Поскольку это значение больше расчетного 1,81144, мы должны принять нулевую гипотезу о равенстве дисперсий.

По второму варианту рассчитывают для полученного расчетного значения критерия Фишера соответствующую вероятность. Для этого в ячейку F15 вводится функ­ция =FPACП(F13;7;7). Поскольку полученное значение 0,22566 больше, чем 0,05, то принимается гипотеза о равенстве дисперсий.

Это может быть выполнено специальной функцией. Выберите в меню последовательно пункты Сервис, Анализ данных. Появится окно следующего вида (рис. 5.2).

Рисунок 5.2 Окно выбора метода обработки

В этом окне выбираете «Двухвыборочный F-mecm для дисперсий». В результате появится окно вида, показанного на рис. 5.3. Здесь задаются интервалы (номера ячеек) первой и второй переменной, уровень значимости (альфа) и место, где будет находится результат.

Задавайте все необходимые параметры и нажимайте ОК. Результат работы приведен на рис. 5.4

Следует отметить, что функция проверяет односторонний критерий и делает это правильно. Для случая, когда критериальное значение больше 1, вычисляется верхнее критическое значение.

Рисунок 5.3 Окно задания параметров

Когда критериальное значение меньше 1, то вычисляется нижнее критическое.

Напоминаем, что гипотеза о равенстве дисперсий отвергается, если критериальное значение больше врехнего критического или меньше нижнего.