Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Z = j(X, Y).

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Y по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X – погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y – погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача – найти закон распределения суммы погрешностей Z = X + Y.

1. Пусть X и Y – дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

Составить распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

z1 = 1 + 3 = 4; z2 = 1 + 4 = 5; z3 = 2 + 3 = 5; z4 = 2 + 4 = 6.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 4, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1 = 1 и величина Y – значение у1 = 3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2.

Аргументы X и Y независимы, поэтому события X =1 и Y = 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е. вероятность события Z = 1 + 3 = 4) по теореме умножения равна 0,4×0,2 = 0,08.

Аналогично найдем:

P(Z = 1 + 4 = 5) = 0,4×0,8 = 0,32;

Р(Z = 2 + 3 = 5) = 0,6×0,2 = 0,12;

Р(Z = 2 + 4 = 6) = 0,6×0,8 = 0,48.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z2, Z = z3 (0,32 + 0,12 = 0,44):

Контроль: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. Пусть X и Y – непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале (–¥, ¥) одной формулой) может быть найдена с помощью равенства

 (11.12)

либо с помощью равносильного равенства

, (11.13)

где f1, f2 – плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле

 (11.14)

либо по равносильной формуле

. (11.15)

Определение. Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Определение.Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X и Y – независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными а1 = 3, а2 = 4, D1 = 1, D2 = 0,5, то композиция этих величин (т.е. плотность вероятности суммы Z = X + Y) также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D = 1 +0,5 = 1,5.

Пример 2. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (11.14)

.

Заметим, что здесь z ³ 0, так как Z = X + Y и, по условию, возможные значения X и Y неотрицательны. Можно для контроля убедиться, что

.

Рассмотрим некоторые распределения, связанные с нормальным, которые будут использованы при изложении математической статистики.

11.13. Распределение «хи квадрат»

Пусть Xi (i = 1, 2, ..., n) – нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее ческое отклонение – единице. Тогда сумма квадратов этих величин

.

распределена по закону c2 («хи квадрат») с k = n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k = n – 1.

Плотность этого распределения

.

где – гамма-функция; в частности,

Г(x) = (n + 1) = n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.