Предварительно заметим, что далее, вместо того чтобы говорить «закон распределения вероятностей», будем часто говорить кратко—«распределение».
Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X:
Y=(X).
Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.
1. Пусть аргумент X—дискретная случайная величина.
а) Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.
Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением
|
X |
2 |
3 |
|
p |
0,6 |
0,4 |
Найти распределение функции Y=X2.
Решение. Найдем возможные значения Y :у1 = 22=4; у2=32=9. Напишем искомое распределение Y:
|
Y |
4 |
9 |
|
P |
0,6 |
0,4 |
б) Если различным возможным значениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
Пример 2. Дискретная случайная величина X задана распределением
|
X |
-2 |
2 |
3 |
|
p |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
Найти распределение функции Y = Х2.
Решение. Вероятность возможного значения у1 = 4 равна сумме вероятностей несовместных событий Х=-2, Х = 2, т. е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения у2=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Y:
|
Y |
4 |
9 |
|
p |
0,9 |
0,1 |
2. Пусть аргумент X — непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции Y = (X), зная плотность распределения случайного аргумента X? Доказано: если у=(х)—дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой x =(y),то плотность распределения g(y) случайной величины Y находится с помощью равенства
g(y)=f [(y)]| ‘(y)|.
Пример 3. Случайная величина X распределена нормально, причем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функции Y = X3.
Решение. Так как функция у = х3 дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу
g(y)=f [(y)]| ‘(y)|. (*)
Найдем функцию, обратную функции у=х3:
(y)=x=y1/3
Найдем f [ (у)]. По условию,
поэтому
f [ (у)]=f[y1/3]= 
(**)
Найдем производную обратной функции по у:
’(y)=(y1/3)’=
(***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) и (*):
g(y)= 
Замечание. Пользуясь формулой (*), можно доказать, что линейная функция Y =АХ+В нормально распределенного аргумента X также распределена нормально, причем для того чтобы найти математическое ожидание Y, надо в выражение функции подставить вместо аргумента X его математическое ожидание а:
M(Y)=Aa+B;
для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение Y, надо среднее квадратическое отклонение аргумента X умножить на модуль коэффициента при X:
(Y) = | А | (X).
Пример 4. Найти плотность распределения линейной функции Y= ЗХ+1, если аргумент распределен нормально, причем математическое ожидание Xравно 2 и среднее квадратическое отклонение равно 0,5.
Решение. Найдем математическое ожидание Y:
M(Y)=3*2+1=7.
Найдем среднее квадратическое отклонение Y:
(Y)=3*0,5=1,5
Искомая плотность распределения имеет вид
g(y)= 
