Или биномиальный закон распределения вероятностей. Исходя из моих наблюдений и личной статистики – это наиболее распространённый вид дискретного распределения, с которым мы уже встречались добрый десяток раз.
Я буду формулировать задачу в общем виде и попутно приводить конкретный пример:
Пусть проводится 
независимых испытаний (не обязательно повторных), в каждом из которых случайное событие 
может появиться с вероятностью
. Тогда случайная величина 
– число появлений события 
в данной серии испытаний, имеет биномиальное распределение.
Совершенно понятно, что эта случайная величина может принять одно из следующих значений: 
.
Например: монета подбрасывается 5 раз. Тогда случайная величина 
– количество появлений орла распределена по биномиальному закону. Орёл обязательно выпадет:
или 
раз, или 
, или 
, или 
, или 
, или 
раз.
Как вы догадались, соответствующие вероятности определяются формулой Бернулли:
, где:
– количество независимых испытаний;
– вероятность появления события 
в каждом испытании;
– вероятность непоявления события 
в каждом испытании;
– сколько раз может появиться событие 
в данной серии испытаний (список всех возможных значений).
Сведём этот закон распределения в таблицу:
Вероятности 
представляют собой члены бинома Ньютона, благодаря чему распределение и получило своё название. По формуле бинома:
, что мы и ожидали увидеть.
В нашем примере с монеткой:
– вероятность того, что в 5 испытаниях орёл не выпадет вообще (
);
– вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно 
раз;
– вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно 
раза;
– … ровно 
раза;
– … ровно 
раза;
– … ровно 
раз.
Таким образом, закон распределения числа выпавших орлов:
Контроль: 
Легко видеть, что нахождение биномиального ряда распределения – есть занятие муторное, и это хорошо, если он содержит 3-4-5-6 значений. А ведь немало задач, где требуется рассчитать 8-10, а то и бОльшее количество вероятностей!
Поэтому вычисления целесообразно автоматизировать в Экселе с помощью его стандартной функции:
=БИНОМРАСП(m; n; p; 0), где 
количество успехов в 
испытаниях, а 
– вероятность успеха в каждом испытании.
Именно так реализован Пункт 3 моего расчётного макета по ТерВеру, ну и особо крутая плюшка – это Пункт 6, в котором биномиальное распределение получается автоматически!
Однако на практике решение нужно расписывать подробно, да и техника не всегда бывает под рукой. В этой связи обязательно прорешайте хотя бы 2-3 типовых задачи и постукайте пальцами по клавишам микрокалькулятора.
Начинаем:
Задача
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины 
– числа попаданий в цель при четырех выстрелах. Вычислить 
и 
. Построить многоугольник и функцию распределения. Найти 
.
…таких задач очень много – составить закон распределения вероятностей и найти всё-всё-всё. Или почти всё. Или что-то ещё – зависит от фантазии составителя :)
Решение: по существу, текст условия совпадает с Задачей статьи о геометрическом распределении, но есть одно принципиальное отличие – здесь другая случайная величина. А именно, под страхом расстрела совершается серия из 
и строго из 4выстрелов, вероятность попадания в каждом из которых составляет 
.
Очевидно, что испытания независимы, и случайная величина 
распределена по биномиальному закону.
Составим ряд распределения данной случайной величины. Используем формулу Бернулли:
для 
– всех возможных результатов рассматриваемой серии.
На этом шаге я сразу забью 
в свой расчётный макет (Пункт 6), чтобы контролировать правильность каждого пункта. Для удобства их можно нумеровать:
0) 
– вероятность того, что в 4 выстрелах не будет попаданий;
1) 
– вероятность того, что в 4 выстрелах будет ровно 1 попадание;
2) 
– … ровно 2 попадания;
3) 
– … ровно 3 попадания;
4) 
– … ровно 4 попадания.
Таким образом, искомый закон распределения:
Проверка: 
, ч.т.п.
Пока таблица не ушла из поля зрения, построим многоугольник распределения:
Вычислим математическое ожидание и дисперсию. И тут есть отличная новость – для биномиального распределения можно не использовать общий алгоритм расчёта этих числовых характеристик – по той причине, что существуют готовые формулы:
– среднеожидаемое количество попаданий;
– рассеяние количества попаданий относительно матожидания.
Всегда бы так!
Составим функцию распределения вероятностей:
Я не буду вновь останавливаться на алгоритме её построения, и если что-то не понятно, то смотрите по ссылке выше. Раз ступенька, два ступенька – будет график:
Напоминаю, что в статье о функции распределения можно разыскать программу, которая строит чертежи автоматически.
Найдём 
– вероятность того, что значение случайной величины 
отклонится от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение.
Среднее квадратическое отклонение: 
и искомая вероятность:
